1.1 В описании Ш. Кулона приведена масса нити , она легко выражается через объем и плотность серебра

Из этой формулы легко выразить диаметр нити:

При численных расчетах следует все параметры выразить в единицах системы СИ кг 4m16− d===,255⋅105м (3) πρLкг− Agπ⋅105,⋅103⋅28⋅,2707⋅102м м:

Менее трех сотых миллиметра!

1.2 Модуль кручения определяется по формуле

Подстановка численных значений с переводом в систему СИ дает следующее значение

2. Фундаментальный закон электричества.

1.1 В описании Ш. Кулона приведена масса нити , она легко выражается через объем и плотность серебра

Из этой формулы легко выразить диаметр нити:

При численных расчетах следует все параметры выразить в единицах системы СИ кг 4m16− d===,255⋅105м (3) πρLкг− Agπ⋅105,⋅103⋅28⋅,2707⋅102м м:

Менее трех сотых миллиметра!

1.2 Модуль кручения определяется по формуле

Подстановка численных значений с переводом в систему СИ дает следующее значение

2. Фундаментальный закон электричества.

2.1 Решение этой части задачи начнем с цитаты из использованного мемуара: «Расстояние между двумя шариками, когда они удалены друг от друга действием взаимного отталкивания, измеряется в точности не углом, который они образуют, а хордой дуги, которая соединяет их центры. Так же и плечо в крайнем положении, где проявляется действие, измеряется не половиной длины дуги, или радиусом, а косинусом половины угла...»

Воспользуемся подсказкой самого Шарля Кулона, рассмотрим условия равновесия коромысла крутильных весов. На рисунке показана геометрия опыта и направление силы взаимодействия между шариками . Из рисунка следует, что расстояние между шариками равно

Плечо силы взаимодействия

Угол закручивания нити

Условие равновесия коромысла весов имеет вид

Следовательно, сила взаимодействия может быть рассчитана по формуле

Расстояние между шариками рассчитывается по формуле (6). Результаты расчетов по этим формулам приведены в Таблице (1). График этой функции показан на рисунке.

Таблица 1. Расчет сил и расстояний.

2.2 Для доказательства закона Кулона следует провести линеаризацию зависимости силы от расстояния. Эту линеаризацию можно провести различными способами. например, построить зависимость . Наиболее предпочтительной линеаризацией является построение графика в логарифмическом масштабе . В этом случае коэффициент наклона будет равен показателю степени в зависимости . На рисунке приведены графики обеих линеаризованных зависимостей.

Действительно, коэффициент наклона в логарифмической зависимости примерно равен -1,9, что с учетом неизбежных погрешностей измерений можно принять равным -2.

Также видно. что зависимость близка к линейной, поэтому эта зависимость также подтверждает закон Кулона.

2.3 В системе СИ закон Кулона имеет вид

С помощью этой формулы можно вычислить заряды шариков. Для повышения точности следует провести усреднение по трем результатам измерений. Один из возможных вариантов такого усреднения – использование зависимости . В этой зависимости коэффициент наклона равен

Откуда следует, что

1. Утечка заряда.

Понятно, что уменьшение угла отклонения связано с утечкой зарядов с шариков. Поэтому в данной части задачи необходимо найти ответы на два вопроса: первый, как зависит заряд шарика от времени; второй – как связано изменение угла отклонения с изменением заряда.

Можно считать, что шарик находится в однородной слабопроводящей среде, а электрический ток протекает от шарика до бесконечности.

В этом случае разность потенциалов равна потенциалу шарика

Здесь обозначено - радиус шарика (чтобы не путать с - так мы обозначим сопротивление среды).

Для расчета сопротивления среды ее следует разделить на тонкие сферические слои. Сопротивление отдельного слоя радиуса и толщины равно

Так как радиально растекающийся ток протекает последовательно через слои, то общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех слоев

Для выполнения суммирования (точнее интегрирования) можно сослаться на традиционный способ вычисления потенциала поля, создаваемого точечным источником – здесь сумма имеет тот же вид, поэтому

Таким образом, находим, что сила тока утечки равна

Примечание. Этот же результат можно получить более изящным способом, используя теорему Гаусса. Мысленно окружим один из шариков произвольной замкнутой поверхностью . Сила тока, стекающего с шарика равна потоку вектора плотности тока через эту поверхность . По закону Ома в дифференциальной форме плотность пока связана с напряженностью электрического поля соотношением . Поэтому поток вектора плотности тока связан с потоком вектора напряженности таким же соотношением: .

Поток вектора напряженности поля определяется теоремой Гаусса . Окончательно получаем . Полученное соотношение перепишем в виде

Рассмотрим теперь, как связано угла смещения шарика с изменением зарядов на шариках. Сила взаимодействия выражается через угол смещения посредством соотношения (10). Используя закон Кулона, можем записать

где - некоторая постоянная величина. Эта формула выражает связь между углом смещения и зарядами шариков. Обозначим функцию . Изменение заряда определяется изменением этой функции. По-видимому, в данном случае проще провести численные расчеты изменения этой функции , хотя можно воспользоваться и приближенными формулами (вычислением производных). Учитывая, что изменения заряда мало, запишем


Численный расчет относительного изменения заряда (при , , ) дает значение:

Примечание. Для оценки можно приближенно считать, что расстояние между шариками равно длине дуги между ними , а плечо силы равно . Тогда условие равновесия примет вид

Тогда проводя аналогичные (20) преобразования, получим


Теперь вернемся к формуле (18), из которой можно выразить искомое удельное сопротивление воздуха

2.1 Решение этой части задачи начнем с цитаты из использованного мемуара: «Расстояние между двумя шариками, когда они удалены друг от друга действием взаимного отталкивания, измеряется в точности не углом, который они образуют, а хордой дуги, которая соединяет их центры. Так же и плечо в крайнем положении, где проявляется действие, измеряется не половиной длины дуги, или радиусом, а косинусом половины угла...»

Воспользуемся подсказкой самого Шарля Кулона, рассмотрим условия равновесия коромысла крутильных весов. На рисунке показана геометрия опыта и направление силы взаимодействия между шариками . Из рисунка следует, что расстояние между шариками равно

Плечо силы взаимодействия

Угол закручивания нити

Условие равновесия коромысла весов имеет вид

Следовательно, сила взаимодействия может быть рассчитана по формуле

Расстояние между шариками рассчитывается по формуле (6). Результаты расчетов по этим формулам приведены в Таблице (1). График этой функции показан на рисунке.

Таблица 1. Расчет сил и расстояний.

2.2 Для доказательства закона Кулона следует провести линеаризацию зависимости силы от расстояния. Эту линеаризацию можно провести различными способами. например, построить зависимость . Наиболее предпочтительной линеаризацией является построение графика в логарифмическом масштабе . В этом случае коэффициент наклона будет равен показателю степени в зависимости . На рисунке приведены графики обеих линеаризованных зависимостей.

Действительно, коэффициент наклона в логарифмической зависимости примерно равен -1,9, что с учетом неизбежных погрешностей измерений можно принять равным -2.

Также видно. что зависимость близка к линейной, поэтому эта зависимость также подтверждает закон Кулона.

2.3 В системе СИ закон Кулона имеет вид

С помощью этой формулы можно вычислить заряды шариков. Для повышения точности следует провести усреднение по трем результатам измерений. Один из возможных вариантов такого усреднения – использование зависимости . В этой зависимости коэффициент наклона равен

Откуда следует, что

1. Утечка заряда.

Понятно, что уменьшение угла отклонения связано с утечкой зарядов с шариков. Поэтому в данной части задачи необходимо найти ответы на два вопроса: первый, как зависит заряд шарика от времени; второй – как связано изменение угла отклонения с изменением заряда.

Можно считать, что шарик находится в однородной слабопроводящей среде, а электрический ток протекает от шарика до бесконечности.

В этом случае разность потенциалов равна потенциалу шарика

Здесь обозначено - радиус шарика (чтобы не путать с - так мы обозначим сопротивление среды).

Для расчета сопротивления среды ее следует разделить на тонкие сферические слои. Сопротивление отдельного слоя радиуса и толщины равно

Так как радиально растекающийся ток протекает последовательно через слои, то общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех слоев

Для выполнения суммирования (точнее интегрирования) можно сослаться на традиционный способ вычисления потенциала поля, создаваемого точечным источником – здесь сумма имеет тот же вид, поэтому

Таким образом, находим, что сила тока утечки равна

Примечание. Этот же результат можно получить более изящным способом, используя теорему Гаусса. Мысленно окружим один из шариков произвольной замкнутой поверхностью . Сила тока, стекающего с шарика равна потоку вектора плотности тока через эту поверхность . По закону Ома в дифференциальной форме плотность пока связана с напряженностью электрического поля соотношением . Поэтому поток вектора плотности тока связан с потоком вектора напряженности таким же соотношением: .

Поток вектора напряженности поля определяется теоремой Гаусса . Окончательно получаем . Полученное соотношение перепишем в виде

Рассмотрим теперь, как связано угла смещения шарика с изменением зарядов на шариках. Сила взаимодействия выражается через угол смещения посредством соотношения (10). Используя закон Кулона, можем записать

где - некоторая постоянная величина. Эта формула выражает связь между углом смещения и зарядами шариков. Обозначим функцию . Изменение заряда определяется изменением этой функции. По-видимому, в данном случае проще провести численные расчеты изменения этой функции , хотя можно воспользоваться и приближенными формулами (вычислением производных). Учитывая, что изменения заряда мало, запишем


Численный расчет относительного изменения заряда (при , , ) дает значение:

Примечание. Для оценки можно приближенно считать, что расстояние между шариками равно длине дуги между ними , а плечо силы равно . Тогда условие равновесия примет вид

Тогда проводя аналогичные (20) преобразования, получим


Теперь вернемся к формуле (18), из которой можно выразить искомое удельное сопротивление воздуха