В установившемся режиме температура в каждой металлической пластине не зависит от времени и меняется равномерно по толщине — градиент постоянен. Нарисуй продольный срез и подумай, как связаны поток тепла и уклон температурной прямой.

Применяй закон теплопроводности в стационарном режиме: поток через однородную пластину равен произведению теплопроводности на площадь и на разность температур, делённую на толщину пластины.

1. Запиши для каждой пластины , где , и заданы.
2. Подставь в эту формулу для серебра значение и для свинца .
3. Вычисли символически выражения для и и затем подставь численные величины.
4. Вырази и из полученной формулы.

При переходе от начальной равномерной температуры до стационарного распределения пластины поглотили определённое количество теплоты. Подумай, от чего зависит это количество.

Используй связь количества теплоты с теплоёмкостью: теплота, идущая на нагрев пластины, равна массе пластины, умноженной на её удельную теплоёмкость и приращение температуры.

1. Вырази массу пластины как для каждой из двух металлов.
2. Запиши с (\Delta T = T_{средн,установившегося}-T_0). Для однослойной пластины при постоянном градиенте средняя температура между границами равна арифметическому среднему, так что приращение температуры пластины равно .
3. Подставь массу и удельную теплоёмкость каждого металла и вычисли символические выражения для и .
4. Вырази и из полученной системы.

В составной пластины два слоя лежат последовательно по потоку тепла — через обе пластины проходит один и тот же стационарный поток. Обозначь интерфейс и направление теплового потока.

Сведи задачу к сумме тепловых сопротивлений: для слоя сопротивление равно , поток через последовательную пару равен разности температур, делённой на сумму сопротивлений.

1. Для каждой пластины в составе выпиши её тепловое сопротивление .
2. Запиши суммарное сопротивление для данной компоновки.
3. Вырази поток через систему как — он одинаков для обоих слоёв.
4. Вырази (и аналогично для обратной компоновки) из полученной формулы.

При установлении стационарного профиля каждая из двух пластин прогреется до своего стационарного распределения. Теплота, ушедшая на прогрев, равна интегралу от локального приращения температуры по объёму.

Воспользуйся формулой для внутренней энергии: , и тем, что в установившемся режиме профиль температуры в каждом слое линейный.

1. Определи граничные температуры для каждого слоя (для компоновки «Pb–Ag» и «Ag–Pb»), исходя из того, что поток постоянен и через каждый слой падение температуры пропорционально его сопротивлению.
2. Запиши в каждом слое линейный профиль между соответствующими границами.
3. Вычисли для каждой пластины — интеграл по толщине слоя.
4. Вырази и через известные величины (плотности, , геометрию и найденные падения температур).

В стационарном состоянии профиль температуры по координате в составной пластине — кусочно-линейная функция с разрывов по наклону в интерфейсе. Отметь координатную ось и границы слоёв.

Наклон в каждом слое связан с потоком через слой: , поэтому угол наклона больше в слое с меньшей теплопроводностью.

1. Поставь ось x от холодной границы до горячей, отметь толщины слоёв и точку интерфейса.
2. Вычисли наклоны в каждом слое через найденные значения и соответствующие .
3. Проведи в каждом слое прямую с этими наклонами, обеспечив непрерывность температуры в интерфейсе.
4. Изобрази на одном графике обе компоновки; наклоны выражены через и .

Чем больше концентрация молекул и чем больше эффективная «площадь» столкновения, тем меньше средняя длина свободного пробега до столкновения. Представь молекулу как шарик с эффективным сечением столкновения.

Для разрежённого газа средняя длина свободного пробега определяется обратной пропорциональностью произведению концентрации молекул и эффективного сечения столкновения: , где связано с диаметром молекулы.

1. Запиши эффективное сечение столкновения через диаметр: .
2. Используй общую форму и подставь .
3. Получишь окончательное выражение — вырази длину пробега через и .

Подумай, как зависят в формуле (2) средняя скорость молекул, длина пробега и плотность от абсолютной температуры при фиксированном давлении.

Используй кинетическую оценку: , , а концентрация при идеальном газе, поэтому подставь эти зависимости в (2) и сверни степени температуры.

1. Положи , (так как при постоянном давлении) и .
2. Подставь в и сократи зависимости по .
3. Получишь при постоянном давлении, то есть степень при равна . (В задаче далее по соглашению берут .)

При постоянной теплопроводности профиль температуры по координате будет прямой; если же теплопроводность зависит от T, профиль искривлён. Нам нужен простой набросок.

Отметь на оси слева , справа и проведи линию: для постоянной прямая, для кривая выпуклая к холодной стороне (меньший градиент у горячей стороны).

1. Поставь координаты 0 и h на горизонтальной оси, температуры и на вертикальной.
2. Проведи прямую линию между точками для случая постоянной .
3. Отметь схематически, как изменится кривая при (кривая, более пологая в горячей части).
4. Подпиши оси и укажи, какой график соответствует постоянной и какой — температурно-зависимой .

Количество теплоты, ушедшее на прогрев воздуха, равно интегралу по объёму удельной теплоёмкости на локальную приращённую температуру с учётом вариации плотности воздуха.

Используй уравнение состояния идеального газа для связи плотности с температурой при постоянном объёме коробки (масса постоянна, но при стационарном распределении давления можно считать постоянным), и интегрируй , подставив из п.2.5 и .

1. Запиши массу на единицу объёма через закон идеального газа: (или пропорционально ), где — заданное давление.
2. Подставь в выражение для и для , найденного при (см. п.2.5: профиль через квадраты температур).
3. Выполни интегрирование по x, используя замену переменных через T и указанную математическую подсказку при необходимости.
4. Вырази окончательное значение через заданные величины (P_0, c_V, S, h, T_0, T_1 и постоянную в ).

В установившемся режиме температура в каждой металлической пластине не зависит от времени и меняется равномерно по толщине — градиент постоянен. Нарисуй продольный срез и подумай, как связаны поток тепла и уклон температурной прямой.

Применяй закон теплопроводности в стационарном режиме: поток через однородную пластину равен произведению теплопроводности на площадь и на разность температур, делённую на толщину пластины.

1. Запиши для каждой пластины , где , и заданы.
2. Подставь в эту формулу для серебра значение и для свинца .
3. Вычисли символически выражения для и и затем подставь численные величины.
4. Вырази и из полученной формулы.

При переходе от начальной равномерной температуры до стационарного распределения пластины поглотили определённое количество теплоты. Подумай, от чего зависит это количество.

Используй связь количества теплоты с теплоёмкостью: теплота, идущая на нагрев пластины, равна массе пластины, умноженной на её удельную теплоёмкость и приращение температуры.

1. Вырази массу пластины как для каждой из двух металлов.
2. Запиши с (\Delta T = T_{средн,установившегося}-T_0). Для однослойной пластины при постоянном градиенте средняя температура между границами равна арифметическому среднему, так что приращение температуры пластины равно .
3. Подставь массу и удельную теплоёмкость каждого металла и вычисли символические выражения для и .
4. Вырази и из полученной системы.

Чем больше концентрация молекул и чем больше эффективная «площадь» столкновения, тем меньше средняя длина свободного пробега до столкновения. Представь молекулу как шарик с эффективным сечением столкновения.

Для разрежённого газа средняя длина свободного пробега определяется обратной пропорциональностью произведению концентрации молекул и эффективного сечения столкновения: , где связано с диаметром молекулы.

1. Запиши эффективное сечение столкновения через диаметр: .
2. Используй общую форму и подставь .
3. Получишь окончательное выражение — вырази длину пробега через и .

Подумай, как зависят в формуле (2) средняя скорость молекул, длина пробега и плотность от абсолютной температуры при фиксированном давлении.

Используй кинетическую оценку: , , а концентрация при идеальном газе, поэтому подставь эти зависимости в (2) и сверни степени температуры.

1. Положи , (так как при постоянном давлении) и .
2. Подставь в и сократи зависимости по .
3. Получишь при постоянном давлении, то есть степень при равна . (В задаче далее по соглашению берут .)

Малое смыкание угла в результате течи заряда соответствует небольшому относительному изменению силы отталкивания, а значит — изменению квадрата заряда. Свяжи малое изменение угла с изменением заряда за малый промежуток времени.

Модель: заряд убывает экспоненциально в проводящей среде с сопротивлением R окружающей среды, ; электрическая сила , а в установке малые изменения силы связаны с изменением угла по уравнению равновесия коромысла. Найди R, затем воспользуйся выражением сопротивления среды для сферической утечки, чтобы получить удельное сопротивление воздуха.

1. Запиши равновесие для маленького смещения: изменение силы связано с изменением суммарного угла и модулем кручения; для малых изменений линеризуй связь между и (используя формулу равновесия из решения Кулона).
2. Свяжи относительную скорость убывания квадрата заряда с наблюдаемой скоростью смыкания угла: (изменение по времени).
3. Предположи экспоненциальный спад заряда с характеристическим временем и вырази R через наблюдаемую скорость убывания угла за 3 минуты.
4. Используя модель сферического растекания тока, запиши и вырази удельное сопротивление воздуха из найденного R.