Подумай, какие размерности у каждой величины в правой части формулы и какую размерность должен иметь результат — скорость.

Применяй анализ размерностей: приравняй размерность размерности выражения и получи систему линейных уравнений для показателей.

1. Запиши размерности: , и в базовых единицах (M, L, T).
2. Подставь их в и приравняй показатели степеней M, L, T к показателям в .
3. Получишь систему трёх линейных уравнений по и .
4. Реши эту систему и вырази и из полученной системы.

Подумай, как меняется скорость звука с высотой при положительном и при отрицательном градиенте температуры, и в какую сторону будут изгибаться лучи.

Используй аналог закона преломления в форме, где показатель среды зависит от скорости: при изменении скорости лучы преломляются так, что некоторая комбинация угла и показателя остается постоянной (запиши общий вид сохранения).

1. Запиши, как зависит скорость звука от температуры и от высоты: при росте T с высотой c растёт, при уменьшении T с высотой c убывает.
2. Вспомни, что при убывании скорости с высотой лучи изгибаются туда, где скорость меньше, и наоборот.
3. Нарисуй семейство лучей, исходя из того, что при скорость растёт с высотой (лучи изгибаются вниз), а при $\gamma<0$ — скорость убывает (лучи изгибаются вверх).
4. Отметь на рисунке характерные траектории и области, где лучи могут вернуться на землю.

Подумай, какая простейшая квадратичная функция проходит через начало координат и может описать слегка изогнутую траекторию луча.

В общем виде квадратичная функция, проходящая через начало координат, задаётся как .

1. Запиши общий вид параболы, проходящей через начало: .
2. Учти начальное условие в источнике: при получаем , что уже выполнено в этой форме.
3. Определи, какие параметры () задают кривизну и начальный угол направления (через ).
4. Оставь функцию в виде для дальнейшего использования.

Подумай, что вдоль луча сохраняется при изменении высоты: какая комбинация угла наклона и параметра среды остаётся неизменной? Сделай набросок луча и пометь на нём угол в произвольной точке и на поверхности.

Запиши зависимость показателя преломления от высоты и используй правило, связывающее и угол наклона луча (инвариант вдоль траектории). Применяй малые углы, заменяя синусы и косинусы по соответствующим приближённым соотношениям.

1. Вырази косинус угла через и начальные величины на поверхности.
2. Разверни выражение для в ряд по малому углу и по малому параметру , оставив члены до второго порядка, используя приближения (3).
3. Свяжи полученное приближённое выражение для с производной траектории и получи дифференциальное уравнение для в квадратичном приближении.
4. Реши это уравнение шаг за шагом и вырази конечную квадратичную функцию (то есть выразите из полученной системы).

Какой из лучей из семейства достигает высоты ушей наблюдателя (z=2,0 м)? Сделай рисунок семейства лучей и отметь точку пересечения уровня z=2,0 м с каждой траекторией.

Воспользуйся соотношением вида «показатель преломления × косинус угла = константа» для луча в среде с n(z), подставь ранее полученное n(z) и в малых углах примени приближения (3).

1. Запиши зависимость n(z) из пункта 2.2 и подставь в соотношение n(z) cosα = const, чтобы выразить α как функцию z и начального угла α0.
2. В малых углах замени tanα≈α и получи соотношение вида dx/dz ≈ 1/α(z); проинтегрируй его, получив явную квадратичную зависимость x(z) для луча с заданным α0.
3. Подставь z=2,0 м в полученную функцию x(z) и получи горизонтальную дистанцию x до точки пересечения уровня ушей как функцию от α0 и параметров атмосферы.
4. Вырази α0 из полученной зависимости, определив значение α0, при котором получаемая функция x(α0) достигает максимума.

Подумай, как горизонтальная скорость ветра меняется с высотой и как это влияет на скорость распространения фронта в разных направлениях относительно ветра.

Используй формулу для локальной скорости волнового фронта в движущейся среде: (запиши её как общую зависимость).

1. Для лучей, идущих по ветру, горизонтальная составляющая ветра увеличивает скорость фронта; против ветра — уменьшает.
2. Представь семейство лучей исходящих под разными начальными углами; учти, что с ростом высоты меняется линейно.
3. Нарисуй, как лучи вниз по ветру будут отклоняться в сторону земли сильнее, чем против ветра (или проникать дальше по горизонтали).
4. Отметь на рисунке ветры по ветру и против ветра и соответствующие направления изгиба лучей.

Рассмотри малое изменение высоты Δz и как при этом меняются локальная скорость фронта и угол наклона луча.

Запиши локальную формулу и для малого шага свяжи приращение угла с приращением параметров через соотношение, получаемое из постоянства подходящего комбинационного выражения (аналог закона преломления для движущейся среды).

1. Для шага Δz выпиши изменение ветровой скорости Δv= (dv/dz)Δz = β Δz.
2. Запиши изменение нормальной компоненты скорости фронта и свяжи его с изменением угла так, чтобы выполнялось локальное геометрическое соотношение между наклоном фронта и скоростью распространения.
3. Взяв малые углы, заменяй тригонометрические функции их линейными приближениями и получи соотношение вида Δα = (выражение)·Δz.
4. Вырази изменение угла Δα при малом шаге Δz через параметры , и текущий угол (не выполняй окончательных арифметических подстановок).

Используй полученное дифференциальное соотношение для построения траектории в квадратичном приближении, отдельно для случаев по ветру и против ветра.

Полагая малые углы, подставь и интегрируй полученное линейное дифференциальное уравнение первого порядка для или напрямую для ; учти знак эффекта для направлений по ветру и против ветра.

1. Возьми соотношение из п.3.2 в дифференциальной форме и заменяй для малых углов.
2. Интегрируй полученное уравнение по высоте, чтобы получить вид и затем вырази или в квадратичном приближении.
3. Отметь различие знаков при подстановке для лучей, идущих по ветру и против ветра, что даёт разные коэффициенты параболы.
4. Вырази коэффициенты параболы для каждого случая (по ветру и против ветра) через начальный угол , , и .

Сравни, как меняются траектории лучей, и подумай, какое из направлений даёт лучу тенденцию «подниматься» выше, а какое — «опускаться» относительно горизонта. Нарисуй оба случая в приближении малых углов.

Воспользуйся выражением (5) для эффективной скорости и малыми углами: это даёт соотношение между изменением угла луча и градиентом ветровой скорости. Запиши соответствующее дифференциальное уравнение для α(z) и используй квадратичное приближение для траектории.

1. Запиши приближённое уравнение, связывающее изменение угла α с изменением ветровой скорости при малых α.
2. Линеаризуй это уравнение в квадратичном приближении и выпиши уравнение для кривизны траектории (второй производной z по x).
3. Интегрируй полученное уравнение дважды, применив граничные условия в источнике (z=0, начальный угол α0), чтобы получить выражение для z(x) и условия достижения ушей слушателя (z=2,0 м).
4. Из полученной системы выразите разность максимальных расстояний, на которых звук слышен по ветру и против ветра, и сделайте из неё качественный вывод.