1.1 Подставим размерности величин, входящих в формулу для скорости звука

И запишем условия совпадения размерностей кг⋅м⎤⎡кг⎤α+β−α−3β−2α [⋅−1]==[][][] мскгмс (2) ⎢⎣2⋅2⎥⎦⎢⎣3⎥⎦ смм:


Решение этой системы имеет вид

Следовательно, формула для скорости звука следующая:

1.2 Из уравнения состояния идеального газа

следует, что

Поэтому зависимость скорости звука от температуры описывается формулой

1.3 Подставим указанное выражение для температуры и преобразуем его

Здесь - скорость звука при температуре .

2.1 Если температура воздуха изменяется с высотой, то соответственно изменяется и скорость звука, причем эта зависимость описывается формулой

Известный закон преломления света является следствием его волновых свойств, поэтому его можно обобщить на любые волновые процессы. Это можно доказать, например, используя принцип Гюйгенса. Изменение скорости распространения волны в оптике принято описывать, вводя показатель преломления среды. По аналогии со светом можно ввести «звуковой» показатель преломления.

При температуре показатель преломления будем считать равным 1, тогда зависимость показателя преломления от высоты имеет вид

При заданном определении показателя преломления, закон преломления звука будет иметь вид

Здесь - угол между звуковым лучом и горизонтом.

Используя этот закон и выражение (11) для зависимости показателя преломления от высоты, можно указать качественное поведение звуковых лучей. Если температура воздуха возрастает с высотой , то показатель преломления убывает – в этом случае звуковые лучи, преломляясь, изгибаются вниз. Некоторые из них даже могут достичь поверхности земли (см. рис). В противном случае – лучи изгибаются вверх. Отметим, что именно эта ситуация чаще встречается в атмосфере.

2.2 При заданных условиях зависимость скорости звука от высоты имеет вид

Численные значения параметров в этой формуле равны

2.3 Уравнение параболы, проходящей через начало координат, в общем виде задается функцией

2.4 Производная от функции (15) равна

В это выражение следует подставить значение , выраженное через . Для зависимости надо решить уравнение

Из которого следует, что

Подставляя это выражение в формулу (16), получим

Два значения производной соответствуют двум ветвям параболы, т.е. при следует брать положительный корень, при - отрицательный. Таким образом, если производная от функции описывается уравнением (19), то его решение при нулевых начальных условиях есть функция (15)

2.5 Для расчета траектории луча воспользуемся законом преломления

В котором зависимость показателя преломления от высоты задается функцией

Согласно определению угла , его тангенс равен производной от искомой функции . Значение тангенса угла найдем с помощью тригонометрических формул

Нам требуется найти приближенное уравнение траектории (в квадратичном приближении). Для этого достаточно подкоренное упростить с помощью приближенных формул, считая (точнее ) и малыми величинами и, оставляя в них только первый порядок. В этом приближении

Тогда уравнение для траектории луча приобретает вид

который совпадает с уравнением (19). Поэтому решение этого уравнения задается функцией

Так как параметр , то ветви параболы оказываются направленными вверх — звук «уходит» ввысь!

2.6 Звуковые лучи, выходящие из источника под разными углами являются параболами с одним коэффициентом при , поэтому самая «нижняя» парабола есть луч вышедший горизонтально (). Поэтому для определения расстояния, на котором луч проходит на высоте необходимо решить уравнение

из которого находим

Заметим, что на больших расстояниях не будет слышен звук даже от мощного источника (например, взрыва), потому что звуковые волны уходят вверх. Дифракцией звуковых волн в данной задаче пренебрегаем.

3.1 При наличии ветра скорость распространения звука зависит от направления (можно сказать, что среда является анизотропной). Поэтому закон преломления в форме (12) применять нельзя. В таком случае оказывается удобным рассматривать изменение волновых поверхностей (фронтов) – поверхностей, которые звуковые лучи пересекаю нормально. Рассмотрим участок волнового фронта , распространяющегося приблизительно по направлению ветра. Так как скорость ветра возрастает с высотой, то верхняя часть фронта будет смещаться быстрее нижней, поэтому лучи нормальные к этому фронту будут отклоняться вниз. При распространении звука против ветра ситуация обратная – верхняя часть фронта движется медленнее, поэтому в этом случае лучи отклоняются вверх. Аналогичная ситуация будет реализовываться и для других лучей: при движении по ветру они отклоняются вниз (прижимаются к земле), при распространении против ветра лучи отклоняются вверх.

3.2 Опишем «поворот» волнового фронта более подробно.

Рассмотрим луч, распространяющийся на высоте под углом к горизонту. Изобразим участок волнового фронта шириной . Согласно подсказке, сделанной в

условии задачи скорость фронта равна сумме скоростей звука в неподвижном воздухе и нормальной составляющей скорости ветра, поэтому скорость смещения точек фронта равна

Только необходимо учесть, что разные точки фронта находятся на разной высоте, поэтому они движутся с разной скоростью. Потому, что скорость ветра зависит от высоты - . Крайние точки выбранного участка фронта смещены относительно его середины на величину . Поэтому скорости ветра в этих точках равны

где - скорость ветра на высоте . За малый промежуток времени смещения крайних точек задаются выражениями

Из рисунка следует, что различие скоростей движения этих точек приведет к повороту фронта на угол

За тот же промежуток времени центр выбранного участка сместится по высоте на величину

Здесь учтено, что

Следовательно, уравнение, описывающее изменение угла имеет вид

3.3 В рамках использованного приближения уравнение (33) преобразуется к виду

Из которого не сложно найти зависимость с учетом начальных условий:

Окончательно получаем

Для скептиков, сомневающихся в мощи приближенных методов. Уравнение (33) может быть решено точно

Этот интеграл выражается через элементарные функции

Далее необходимо выразить в явном виде , провести тригонометрические преобразования типа (22) и ... получить уравнение (35)!

Как обычно – не понимаешь физики – сиди и интегрируй!

Вернемся, однако, к уравнению (35). Так как при малых углах , угол равен производной , то это уравнение совпадает с уравнением (24), поэтому его решением является функция

Таким образом, при распространении звука по ветру лучи представляют собой параболы, ветви которых направлены к земле.

При распространении звука против ветра необходимо поменять знак в уравнении (33), соответственно поменяется знак и решении, т.е. в этом случае лучи будут описываться функциями

Отметим, что в этом случае , но и .

Полученные результаты корректно описывают ход лучей, построенных в результате качественного анализа.