Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
1.1 Покажите, что изменение модуля скорости крайних точек диска описывается уравнением
где
Это уравнение описывает изменение скорости вращательного движения и в случае наличия поступательного движения.
Подсказка: Кинетическая энергия диска, вращающегося вокруг собственной оси с угловой скоростью
1.1 Уравнение (1) можно получить различными способами. Например, рассмотрим малый промежуток времени
Изменение кинетической энергии за малый промежуток времени преобразуем следующим образом
мы пренебрегли малым слагаемым
1.2 Найдите, за какое время угловая скорость диска уменьшится в два раза.
Подумай, какое значение принимает сила трения на каждом рельсе и как она влияет на угловое ускорение диска при неподвижной оси.
Свяжи силу трения с нормальной реакцией и используй момент силы трения, равный произведению силы на плечо
- Определи нормальную силу от каждого рельса и силу трения одного рельса
через и . - Запиши уравнение для углового ускорения, используя момент суммарных сил трения относительно оси:
(где для диска известен). - Прими угловое ускорение постоянным и выпиши закон изменения
. - Вырази время
из уравнения .
1.2 В рассматриваемом случае
Поэтому
Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость изменяется по закону
Из этой функции находим время, за которое угловая скорость уменьшается вдвое:
1.3 Найдите, сколько оборотов сделает диск до полной остановки.
Подумай, как подсчитать число оборотов, используя работу, выполненную силами трения, и начальную кинетическую энергию диска.
Применяй теорему о работе и изменении кинетической энергии: начальная кинетическая энергия вращения равна суммарной работе сил трения вдоль длины пути точек касания.
- Запиши начальную кинетическую энергию вращения через
(или ). - Определи путь, пройденный точками касания за один оборот (перечисли количество контактов/длину скольжения за оборот).
- Приравняй начальную энергию к работе силы трения
на суммарном пути до остановки и подставь в виде через . - Вырази полное число оборотов
из полученного уравнения.
1.3 Полное число оборотов до остановки проще выразить из уравнения (1):
2.1 Нарисуйте схематические графики зависимости модулей скорости поступательного движения
2.1 Сила трения направлена в сторону противоположную относительной скорости точек соприкосновения тел. Поэтому направления сил трения, действующих на диск со стороны разных рельсов, зависят от соотношения между скоростями поступательного
Если
сторону, поэтому обе силы трения направлены в сторону, противоположную вектору
Здесь обозначено
Так как силы трения направлены в одну сторону, то суммарный момент силы трения равен нулю, поэтому угловая скорость вращения изменяться не будет.
В этом случае силы трения, действующие на крайние точки диска, будут направлены в противоположные стороны. Тогда скорость поступательного движения изменяться не будет, а скорость вращательного движения будет изменяться в соответствии с формулой (6):
Здесь 
2.2 Через какое время после начала движения скорости поступательного
Найди момент, когда убывающая поступательная скорость догонит (становится равной) оставшейся пока неизменной краевой скорости.
Воспользуйся законом для поступательного движения в первом режиме
- Запиши уравнение выравнивания скоростей
. - Реши это линейное уравнение относительно
. - Вырази
через , , и .
2.2 Время выравнивания скоростей легко определить из закона изменения скорости поступательного движения (9):
2.3 Рассчитайте среднее ускорение оси диска после того, как скорости поступательного и вращательного движения стали равными.
Подумай, как попеременные этапы торможения поступательного и вращательного движения дают некоторый средний эффект после выравнивания скоростей.
Модель: за период попеременных фаз скорости уменьшаются на одинаковую величину; среднее ускорение за цикл равно отношению суммарного изменения скорости к сумме длительностей фаз, что даёт формулу вида гармонического среднего:
- Введи малые приращения скоростей
и запиши длительности фаз торможения через эти приращения и модули ускорений и . - Вычисли суммарное изменение скоростей за цикл и суммарное время цикла.
- Запиши среднее ускорение как отношение суммарного изменения к суммарному времени.
- Вырази итоговое среднее ускорение
через и , а затем подставь , для получения ответа через .
2.3 Для расчета среднего ускорения при
значения
Скорость вращательного движения превысила скорость поступательного на величину
Таким образом, за время
2.4 Найдите, какой полный путь пройдет диск до остановки (ответ выразите через
2023 года
(Заключительный этап)
Теоретический тур
Раздели путь до полной остановки на путь до момента выравнивания скоростей и путь после выравнивания; для каждого отрезка используй подходящую кинематическую формулу.
Применяй формулу кинематики для движения с постоянным ускорением в каждом этапе:
- Вычисли путь
на первом этапе от до используя и формулу из предыдущего шага. - Вычисли путь
на втором этапе от до остановки, приняв среднее ускорение из пункта 2.3 и начальную скорость . - Сложи
. - Вырази итоговый путь
через и (используя соотношение при необходимости).
2.4 Теперь путь, который пройдет диск до остановки, легко рассчитать по известной кинематической формуле
2023 года
(Заключительный этап)
Теоретический тур
Решения задачПохожие задачи
Скатывание без проскальзывания
Существует множество задач, в которых брусок движется по наклонной плоскости при наличии трения. В зависимости от коэффициента трения и угла наклона …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Полоса препятствий
На горизонтальной поверхности находится шероховатая полоса шириной
Лихач (не задирай носа)
Автомобили бывают разные – большие и маленькие, красные и черные, дорогие и поддержанные. Но у всех их есть нечто общее, например, двигатель, кузов …
У Р Б П ≈5/5 Т3
Автоколебания
В данной задаче рассматривается поведение следующего механического устройства. На горизонтальный вал 1 радиуса
Шарики на спице и как ломаются трубы
Задание 1 состоит из
Задача 1. 1 шарик.
Тонкая жесткая спица длиной
Задача 9-1
У
Р
Б
П
≈5/5