1.1 Уравнение (1) можно получить различными способами. Например, рассмотрим малый промежуток времени . Изменение кинетической энергии диска равно работе силы трения, поэтому

Изменение кинетической энергии за малый промежуток времени преобразуем следующим образом

мы пренебрегли малым слагаемым . Подстановка этого выражения в уравнение (1) приводит к требуемому результату

1.2 В рассматриваемом случае

Поэтому

Так как угловое ускорение постоянно, то угловая скорость изменяется по закону

Из этой функции находим время, за которое угловая скорость уменьшается вдвое:

1.3 Полное число оборотов до остановки проще выразить из уравнения (1):

2.1 Сила трения направлена в сторону противоположную относительной скорости точек соприкосновения тел. Поэтому направления сил трения, действующих на диск со стороны разных рельсов, зависят от соотношения между скоростями поступательного и вращательного движения крайних точек диска.
Если , то эти крайние точки движутся в одну

сторону, поэтому обе силы трения направлены в сторону, противоположную вектору . В этом случае скорость поступательного движения будет уменьшаться по закону

Здесь обозначено - модуль ускорения для поступательного движения.
Так как силы трения направлены в одну сторону, то суммарный момент силы трения равен нулю, поэтому угловая скорость вращения изменяться не будет.

Иная ситуация реализуется при .
В этом случае силы трения, действующие на крайние точки диска, будут направлены в противоположные стороны. Тогда скорость поступательного движения изменяться не будет, а скорость вращательного движения будет изменяться в соответствии с формулой (6):


Здесь - модуль ускорения вращательного движения. Движение с точным совпадением скоростей невозможно. Поэтому при движение диска будет носить более сложный характер, в какие малые промежутки времени при будет уменьшаться скорость поступательного движения (а вращательного сохраняться), в другие промежутки времени при будет сохраняться скорость поступательного движения, а скорость вращательного движения уменьшаться. Такое попеременное движение усреднено можно представить, как движение с некоторым средним ускорением.

На основании проведенных рассуждений графики зависимости скоростей от времени будет иметь вид: в течение некоторого промежутка времени скорость поступательного движения будет уменьшаться, а скорость вращательного движения оставаться неизменной, после того, как эти скорости выровняются, обе скорости будут уменьшаться с одинаковым средним значением.

2.2 Время выравнивания скоростей легко определить из закона изменения скорости поступательного движения (9):

2.3 Для расчета среднего ускорения при примем следующую модель: пусть скорость поступательного движения превышает скорость вращательного движения на малую величину , тогда эта скорость уменьшается с ускорением и достигает некоторого

значения (на этом этапе скорость вращательного движения остается неизменной ) – длительность этого этапа

Скорость вращательного движения превысила скорость поступательного на величину , поэтому она станет уменьшаться с ускорением и достигнет значения , что произойдет за время

Таким образом, за время обе скорости уменьшились на величину . Поэтому средние ускорения оказываются одинаковыми и равными

2.4 Теперь путь, который пройдет диск до остановки, легко рассчитать по известной кинематической формуле

Республиканская физическая олимпиада

2023 года

(Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач