Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.Листы ответов к данной задаче не прилагаются!
Камера Вильсона - замечательный прибор для исследования заряженных частиц, который сыграл и до сих пор продолжает играть значительную роль в ядерной физике и физике элементарных частиц. Принцип работы камеры прост и понятен: в сосуде создается пересыщенный пар, парциальное давление которого превышает давление насыщенных паров. Такая система находится в метастабильном состоянии. Пролетающая заряженная частица на своем пути создает цепочку ионов, которые являются центрами конденсации. На них образуются микроскопические капельки воды, отмечающие траекторию пролетающей частицы, которую можно сфотографировать. Аналогичные процессы происходят и при образовании облаков. Однако, до настоящего времени не все понятно в этом процессе, особенно на его начальной стадии. Этим проблемам и посвящено это задание.
Задача разработана на основе статьи
Н.Н. Гупта, С.К Гош. Камера Вильсона и ее применение в физике.
УФН, 1947 г., т. XXXI, вып. 4
и книги
Физика облаков, под редакцией А.Х. Хргиана,
Лениград, 1961 г.
Справочные материалы.
| Плотность воды | 1,0\textsuperscript{.}10\textsuperscript{3} | кг/м\textsuperscript{3} | |
|---|---|---|---|
| Удельная теплота испарения воды | 2,30\textsuperscript{.}10\textsuperscript{6} | Дж/м\textsuperscript{3} | |
| Удельная теплоемкость воды | 4,20\textsuperscript{.}10\textsuperscript{3} | Дж/(кг K) | |
| Поверхностное натяжение воды | 7,3\textsuperscript{.}10\textsuperscript{-2} | Н/м | |
| Молярная масса воды | 1,8\textsuperscript{.}10\textsuperscript{-2} | кг/моль | |
| Постоянная Авогадро | 6,0\textsuperscript{.}10\textsuperscript{23} | 1/моль | |
| Универсальная газовая постоянная | 8.31 | Дж/(моль K) | |
| Заряд электрона | 1,6\textsuperscript{.}10\textsuperscript{-19} | Кл | |
| Электрическая постоянная | 8,85\textsuperscript{.}10\textsuperscript{-12} | Ф/м |
Характеристики воды считать постоянными, не зависящими от температуры.
В конце задания приведена таблица зависимости давления насыщенных паров воды от температуры
Свободная поверхность жидкости обладает энергией, равной
В задаче будем рассматривать камеру, рабочей средой которой является воздух с водяными парами, близкими к насыщению
1.1 Покажите, что зависимость потенциальной энергии капли от ее радиуса может быть представлена в виде
где
Подумай, какие виды энергии меняются при образовании капли по мере роста её радиуса: что растёт с площадью, что — с объёмом.
Учти, что есть энергия, пропорциональная объёму (связана с переходом молекул в жидкое состояние) и энергия поверхности (пропорциональна площади) — запиши их как объёмное и поверхностное слагаемые в U(r).
- Нарисуй каплю радиуса
и укажи её объём и площадь . - Запиши объёмную энергию как энергию, пропорциональную
(с отрицательным знаком, выгодно образовываться жидкости). - Запиши поверхностную энергию как положительную величину, пропорциональную
. - Сложи оба слагаемых и получи форму
, укажи физический смысл и .
1.1 В предложенной формуле для энергии капли
Первое слагаемое имеет смысл объемной энергии -- потенциальной энергии взаимодействия молекул воды. Второе слагаемое - поверхностная энергия.
1.2 Используя характеристики воды, предложите оценки коэффициентов в формуле (1).
1.2 Объемную энергию можно выразить через удельную теплоту испарения
Отсюда следует, что
Второе слагаемое: поверхностную энергию следует выразить через поверхностное натяжение
1.3 При каком условии, накладываемом на функцию
1.3 Рост капли сможет начаться в той области радиусов капли, в которой потенциальная энергия убывает с ростом радиуса капли.
1.4 Используя функцию (1), оцените критический радиус капли
Полученная оценка критического радиуса оказывается несколько завышенной, что связано с грубой оценкой коэффициентов функции (1).
Поэтому далее считайте критический радиус капли равным
1.4 Функция (1) имеет точку максимума. Следовательно, критический радиус соответствует значению точки максимума. Вычисляя производную от функции (1) и приравнивая ее к нулю, легко получить значение критического радиуса
Явно заниженное значение, по-видимому, слишком большая доля молекул находится на поверхности капли.
1.5 Рассчитайте число молекул воды, в капле воды радиуса .
Оценки показывают, что даже уже на таких пространственных масштабах каплю можно считать сплошной средой, потерявшей «атомарную» структуру
1.5 Число молекул в капле рассчитывается по очевидной формуле
1.6 Получите точную формулу для электрической энергии заряженного проводящего шара радиуса
Рассмотрим зародышевую каплю, образовавшуюся на однозарядовом (т.е. ее заряд равен заряду электрона) ионе. Можно считать, что капля является проводящим шариком.
Найди энергию электрического поля заряженного проводящего шара через заряд и потенциал шара.
Воспользуйся выражением для энергии электростатического поля заряженного тела
- Запиши потенциал проводящего шара относительно бесконечности:
выражается через и . - Подставь
в выражение . - Упрощай до выражения вида
(алгебра оставь ученику). - Вырази итоговую формулу энергии поля через
и .
1.6 Энергию электрического поля капли следует рассчитывать по формуле
1.7 Добавьте, в функцию (1) слагаемое, учитывающее электрическую энергию капли. Покажите на качественном уровне (лучше это сделать графически), что наличие этой энергии, может приводить к уменьшению критического радиуса капли. Численные оценки в этом пункте не требуются.
1.7 В потенциальную функцию следует добавить положительное слагаемое, равное энергии поля капли:
Где коэффициент
Иллюстрация приведена на рисунке.
2.1 Рассчитайте избыточное давление насыщенного пара у капелек указанного критического радиуса
2.1 Расчет давления насыщенных паров у поверхности капли дает:
При температуре
2.2 Пусть влажный воздух с насыщенным паром находится в камере Вильсона при температуре 20
Можно заметить, что в формулу Томсона (2) входит Лапласовское давление под искривленной поверхностью. Это наблюдения может помочь проанализировать влияние зарядка капли на избыточное давление пара у поверхности капли. Действительно, заряд капли уменьшает давление внутри нее, т.е. как бы уменьшает Лапласовское давление.
2.2 При резком понижении температуры парциальное давление водяного пара вдали от капли практически не изменится, поэтому надо понизить давление у поверхности капли.
Заметим, что коэффициент
Откуда находим, что
По таблице давления насыщенных паров с помощью линейной интерполяции находим, что температура должна понизится примерно на 1,5 градуса.
Из формулы (13) видно, что влажность воздуха при этом составит примерно 110%
2.3 Используя формулу для поверхностной энергии поверхности воды, получите формулу для избыточного давления под искривленной поверхностью (формулу Лапласа)
2.3 Лапласовское давление задается формулой
Эту формулу можно получить следующим образом:
Работа сил по увеличению площади поверхности равна изменению энергии, поэтому
Откуда и следует формула (14).
2.4 Получите формулу для давления электрического поля на поверхность заряженного проводящего шара радиуса
По-прежнему, рассматриваем капельку воду радиуса
2.4 Давление электрического поля на проводящую поверхность можно рассчитать по формуле
2.5 Рассчитайте, какой заряд надо сообщить этой капле (при температуре 20
Зависимость давления насыщенных паров воды от температуры
(Взята из учебника физики для 10 класса)
Подумай, при каком условии капля начнёт расти в атмосфере без пресыщения — какая разность давлений у её поверхности должна исчезнуть или стать нулевой?
Запиши формулы для двух вкладов в избыточное давление у поверхности капли: лапласовского давления, зависящего от поверхностного натяжения и радиуса, и давления электрического поля на поверхности заряженного проводника (давление поля вырази через напряжённость на поверхности и затем через заряд шара).
- Вычисли лапласовское избыточное давление для радиуса
в виде . - Вычисли давление электрического поля на поверхности через напряжённость
и затем подставь в выражение через заряд и радиус . - Поставь условие, при котором суммарная избыточная величина, препятствующая росту (лапласовское давление) компенсируется давлением электрического поля, то есть суммарное избыточное давление равно нулю.
- Вырази
из полученного уравнения.
2.5 Приравнивая эти давления находим необходимый заряд капли
Похожие задачи
Термоскоп Галилея
Первый термоскоп сконструировал итальянский физик Галилео Галилей примерно в 1592—1600 годах.
Термоскоп (греч. Θέρμη [термо] «тепло» +σκοπέω [скопео] …
Сферический баллон
Тонкостенный сферический баллон изготовлен из стали и используется для хранения газообразного кислорода.
Параметры баллона:
радиус в …
Утечка ... центра масс
В вертикальный тонкостенный цилиндрический сосуд радиуса
Равновесие и устойчивость звёзд
В данной задаче рассматривается весьма упрощенная модель строения звезды, которая, тем не менее, позволяет оценить ее устойчивость.
Звезда в обычном …
Формула Торричелли
Оборудование: бутылка пластиковая
Потенциал Леннард-Джонса
Для жидкостей, состоящих из неполярных молекул, потенциальная энергия взаимодействия (по модулю) двух молекул приближенно выражается следующим …
У Р Б П ≈3/5