Равновесие и устойчивость звёзд

Условие

Республиканская олимпиада 2016 11 класс № 3

В данной задаче рассматривается весьма упрощенная модель строения звезды, которая, тем не менее, позволяет оценить ее устойчивость.

Звезда в обычном состоянии представляет собой газовый шар, находящийся в гидродинамическом и тепловом равновесии. Гидродинамическое равновесие обеспечивается равенством сил тяготения и сил давления, действующих на каждый элемент массы звезды. Тепловое равновесие означает равенство энергии, выделяемой в недрах звезды, и энергии, излучаемой с поверхности звезды.

Для оценок рассматривайте сферическую звезду массы и радиуса , состоящую из полностью ионизированного водорода. Везде, где не сказано иное, считайте, что для вещества звезды выполняется уравнение состояния идеального газа. Считайте, что источником энергии звезды являются ядерные реакции, идущие в ядре звезды в области массы с максимальным выделением энергии на единицу массы , где .

Вам могут понадобиться значения следующих величин:

гравитационная постоянная $Н м кг$ скорость света $м с$

универсальная газовая постоянная $Д ж моль К$ постоянная Больцмана $Д ж К$ постоянная Стефана-Больцмана $В т м К$ масса протона $к г$ масса Солнца $к г$ радиус Солнца $м$

температура поверхности Солнца $К$

Кроме того, вам могут понадобиться следующие сведения:

тело при температуре излучает с мощностью на единицу площади, равной ;
в результате ядерных реакций в ядре звезды образуются более тяжёлые элементы из более лёгких; чем тяжелее элемент, тем большая температура требуется для синтеза из этого элемента;

Для численных оценок параметров звезды используйте значения радиуса, массы и температуры поверхности для Солнца. Давлением излучения пренебрегайте.

Часть 1. Характерное время процессов в звёздах.

1.1 Оцените гидродинамическое время звезды , то есть время, за которое элементы вещества звезды сместятся на расстояние порядка радиуса звезды под действием силы тяготения при отсутствии остальных сил.

1.2 Оцените тепловое время звезды , то есть время, требуемое для того, чтобы излучить тепловой энергии звезды при отсутствии дополнительных источников энергии.

1.3 Оцените ядерное время звезды , то есть время, требуемое, чтобы излучить 10% энергии, выделяющихся в звезде в результате ядерных реакций. Сравните величины характерных времён процессов в звезде и сделайте вывод о протекании процессов в звезде.

Часть 2. Анализ равновесия звёзд

В этой части считайте, что внутренняя энергия звездного вещества определяется по формуле где — внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы, и — некоторые функции, зависящие только от температуры и не зависящие от ее плотности, — характеристика вещества, называемая показатель адиабаты. В данной части задачи массу звезды считайте постоянной.

2.1 Существенную роль в эволюции звезд играет ее гравитационная энергия. Как зависит гравитационная энергия однородной звезды от ее массы и радиуса .

2.2 Определите вид зависимости полной энергии звезды от её массы, радиуса и показателя адиабаты. Постройте схематические графики зависимости полной энергии звезды массы от ее радиуса при различных значениях показателя адиабаты . Выберите такие значения этого показателя, при которых вид исследуемой зависимости претерпевает качественные изменения.

2.3 Установите, при каких значениях равновесие звезды устойчиво, а при каких неустойчиво.

Из трех рассматриваемых параметров звезды (масса , радиус и плотность ) независимыми являются только два, эти два параметра могут быть выбраны произвольно. Для дальнейшего рассмотрения в качестве независимых параметров удобно выбрать массу и плотность.

2.4 Определите вид зависимости массы звезды от её плотности в состоянии равновесия.

2.5 Сформулируйте, какому условию должна удовлетворять зависимость , чтобы равновесие звезды было устойчиво.