Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.В данной задаче рассматривается весьма упрощенная модель строения звезды, которая, тем не менее, позволяет оценить ее устойчивость.
Звезда в обычном состоянии представляет собой газовый шар, находящийся в гидродинамическом и тепловом равновесии. Гидродинамическое равновесие обеспечивается равенством сил тяготения и сил давления, действующих на каждый элемент массы звезды. Тепловое равновесие означает равенство энергии, выделяемой в недрах звезды, и энергии, излучаемой с поверхности звезды.
Для оценок рассматривайте сферическую звезду массы
Вам могут понадобиться значения следующих величин:
универсальная газовая постоянная
постоянная Больцмана
постоянная Стефана-Больцмана
масса протона
масса Солнца
радиус Солнца 
Кроме того, вам могут понадобиться следующие сведения:
- тело при температуре
излучает с мощностью на единицу площади, равной ; - в результате ядерных реакций в ядре звезды образуются более тяжёлые элементы из более лёгких; чем тяжелее элемент, тем большая температура требуется для синтеза из этого элемента;
Для численных оценок параметров звезды используйте значения радиуса, массы и температуры поверхности для Солнца. Давлением излучения пренебрегайте.
1.1 Оцените среднюю плотность звезды
Представь, что на элемент массы действует постоянное ускорение тяжести и он проходит расстояние порядка 0{,}1R; какое уравнение движения подойдёт для оценки времени?
Применяй динамику для равноускоренного движения: пройденный путь при постоянном ускорении выражается через
- Положи характерный путь
и ускорение примерно равным гравитационному на поверхности . - Подставь в формулу равноускоренного движения и реши относительно времени
. - Вырази
через , и .
1.1 Для оценки будем считать, что ускорение свободного падения в мало изменяется при погружении на 10% радиуса и равно ускорению свободного падения на поверхности Тогда из закона равноускоренного движения можно получить искомую оценку времени падения
1.2 Оцените давление в недрах звезды
Какая энергия содержится в горячем идеальном газе и от каких величин она зависит? Оцени, что нужно излучить 10% этой энергии.
Используй выражение для внутренней (тепловой) энергии идеального газа и связь мощности излучения с температурой поверхности через закон Стефана—Больцмана.
- Оцени полную тепловую энергию звезды, умножив энергию на частицу на число частиц (учти вклад электрона и протона при ионизации).
- Вычисли светимость звезды через её поверхность и температуру поверхности
с помощью . - Оцени время
как отношение 0{,}1 полной тепловой энергии к светимости и выпиши выражение.
1.2 Тепловая энергия звезды оценивается по формуле
Здесь учтено, что электроны имеют такую же энергию, как и протоны.
В единицу времени звезда излучает с поверхности энергию, равную
Тогда оценка теплового времени дается формулой
1.3 Оцените температуру в центре звезды
В дальнейшем, где не оговорено иное, считайте, что звезда имеет постоянную плотность и температуру, равную полученным значениям.
Соотнеси давление в центре со средней температурой через поведение идеального газа: от чего зависит давление газа в недрах?
Применяй уравнение состояния идеального газа, связывающее давление, плотность и температуру (в нужной форме для средних величин).
- Возьми найденное значение центрального давления
и выражение средней плотности . - Подставь их в уравнение состояния идеального газа, выбрав удобную форму со средней молекулярной массой вещества.
- Реши полученное уравнение относительно средней температуры
и выпиши результат.
1.3 Ядерное время звезды
Поэтому
1.1 Оцените гидродинамическое время звезды
Представь, что на элемент массы действует постоянное ускорение тяжести и он проходит расстояние порядка 0{,}1R; какое уравнение движения подойдёт для оценки времени?
Применяй динамику для равноускоренного движения: пройденный путь при постоянном ускорении выражается через
- Положи характерный путь
и ускорение примерно равным гравитационному на поверхности . - Подставь в формулу равноускоренного движения и реши относительно времени
. - Вырази
через , и .
1.1 Для оценки будем считать, что ускорение свободного падения в мало изменяется при погружении на 10% радиуса и равно ускорению свободного падения на поверхности Тогда из закона равноускоренного движения можно получить искомую оценку времени падения
1.2 Оцените тепловое время звезды
Какая энергия содержится в горячем идеальном газе и от каких величин она зависит? Оцени, что нужно излучить 10% этой энергии.
Используй выражение для внутренней (тепловой) энергии идеального газа и связь мощности излучения с температурой поверхности через закон Стефана—Больцмана.
- Оцени полную тепловую энергию звезды, умножив энергию на частицу на число частиц (учти вклад электрона и протона при ионизации).
- Вычисли светимость звезды через её поверхность и температуру поверхности
с помощью . - Оцени время
как отношение 0{,}1 полной тепловой энергии к светимости и выпиши выражение.
1.2 Тепловая энергия звезды оценивается по формуле
Здесь учтено, что электроны имеют такую же энергию, как и протоны.
В единицу времени звезда излучает с поверхности энергию, равную
Тогда оценка теплового времени дается формулой
1.3 Оцените ядерное время звезды
Сравните величины характерных времён процессов в звезде и сделайте вывод о протекании процессов в звезде.
Соотнеси давление в центре со средней температурой через поведение идеального газа: от чего зависит давление газа в недрах?
Применяй уравнение состояния идеального газа, связывающее давление, плотность и температуру (в нужной форме для средних величин).
- Возьми найденное значение центрального давления
и выражение средней плотности . - Подставь их в уравнение состояния идеального газа, выбрав удобную форму со средней молекулярной массой вещества.
- Реши полученное уравнение относительно средней температуры
и выпиши результат.
1.3 Ядерное время звезды
Поэтому
2.1 Существенную роль в эволюции звезд играет ее гравитационная энергия. Как зависит гравитационная энергия однородной звезды от ее массы
Подумай, от каких физических величин должна зависеть гравитационная энергия однородного шара и как она меняет знак при увеличении радиуса.
Применяй метод размерностей: гравитационная энергия должна быть пропорциональна
- Запиши общее видимое размерностное сочетание с
, и для энергии. - Добавь безразмерный коэффициент
и укажи знак (энергия притяжения отрицательна). - Отметь, что при необходимости можно получить точный коэффициент интегрированием по шарам, но для дальнейшего анализа достаточно вида
.
2.1 В данном случае нет необходимости находить полную формулу для гравитационной энергии, достаточно только определить вид зависимости, который проще всего найти с помощью метода размерностей. Простой анализ показывает, что искомая зависимость должна иметь вид
Где
где
2.2 Определите вид зависимости полной энергии звезды
2.2 Полная энергия звезды состоит из ее внутренней энергии, определяемой формулой (1), приведенной в условии задачи, и гравитационной энергией, найденной в предыдущем пункте:
Теперь необходимо выразить плотность звезды через ее массу и радиус:
Окончательное выражение для энергии принимает вид
где
Схематический вид зависимости
Для примера на рисунке показаны графики функции
2.3 Установите, при каких значениях
Из трех рассматриваемых параметров звезды (масса
Устойчивое равновесие соответствует минимуму полной энергии; что значит минимум для второй производной по радиусу?
Свяжи устойчивость с видом экстремума энергии: если при малом сжатии/расширении энергия возрастает, положение устойчиво.
- Возьми полученное в прошлом пункте выражение вида
. - Найди условие на показатели степеней при малых и больших
, при котором функция имеет минимум. - Сформулируй условие на
для устойчивости (какие значения дают минимум, а какие максимум).
2.3 Чтобы положения равновесия (ему соответствуют точки экстремума энергии) было устойчивым необходимо, чтобы функция имела минимум энергии. В нашем случае, как это следует из анализа зависимости
2.4 Определите вид зависимости массы звезды от её плотности
2.4 Чтобы получить зависимость массы звезды от ее плотности (помните, что радиус звезды не является постоянным!) достаточно выразить ее радиус
И подставить его в выражение для полной энергии (16)
2.5 Сформулируйте, какому условию должна удовлетворять зависимость
Что должно происходить с масcой при малом возмущении плотности, чтобы равновесие было устойчивым: возвращение к исходному состоянию или отдаление?
Сформулируй критерий устойчивости через знак производной
- Возьми найденную зависимость
из предыдущего пункта. - Исследуй знак её производной
в равновесном состоянии: определи, увеличивается ли требуемая масса при росте плотности. - Сформулируй условие устойчивости в виде требования к знаку
(например: равновесие устойчиво, если выражение удовлетворяет указанному знаку) и оставь его в таком виде.
2.5 Условие устойчивого равновесия и в этом варианте может быть сформулировано аналогично – функция
Похожие задачи
Камера Вильсона
Листы ответов к данной задаче не прилагаются!
Камера Вильсона - замечательный прибор для исследования заряженных частиц, который сыграл и до сих пор …
Утечка ... центра масс
В вертикальный тонкостенный цилиндрический сосуд радиуса
Космический вальс
В классическом вальсе партнеры кружатся вокруг друг друга и одновременно движутся по кругу. В космическом вальсе - Земля и Луна вращаются вокруг …
У Р Б П ≈4/5 Т3
Задача 11-3
Для демонстрации существования давления света используется простой прибор - радиометр. Внутри стеклянной колбы, из которой откачан воздух …
У Р Б П ≈4/5 Т2
Как измеряли Вселенную
Данное задание состоит из 4 связанных между собой задач.
В задаче используется современная система единиц.
Во всех частях задания обязательно …
Гиперболоид инженера Гарина
В данной задаче рассматривается достаточно простая модель, демонстрирующая принципы работы оптического квантового генератора.
Согласно квантовой …