Равновесие и устойчивость звёзд — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2016 11 класс № 3

1.1 Средняя плотность звезды рассчитывается «по определению»
$кг м$

1.2 Так как плотность звезды предлагается считать постоянной, то изменение давления при изменении расстояния до центра звезды на величину описывается «гидростатической» формулой

Так как ускорение свободного падения зависит от расстояния до центра по закону

где - ускорение на поверхности звезды, то уравнение (2) приобретает вид

Проводя суммирование по тонким сферическим слоям и, учитывая, что на поверхности давление равно нулю, получим

Откуда следует, что давление в центре звезды оценивается по формуле
$Па$

1.3 Для оценки температуры можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа (с учетом, что молярная масса газа равна )
$К$

1.1

1.1 Для оценки будем считать, что ускорение свободного падения в мало изменяется при погружении на 10% радиуса и равно ускорению свободного падения на поверхности Тогда из закона равноускоренного движения можно получить искомую оценку времени падения
$с$

1.2

1.2 Тепловая энергия звезды оценивается по формуле
$Е Дж$
Здесь учтено, что электроны имеют такую же энергию, как и протоны.
В единицу времени звезда излучает с поверхности энергию, равную
$Вт$
Тогда оценка теплового времени дается формулой
$с лет$

1.3

1.3 Ядерное время звезды оценивается аналогично. Ядерная энергия, выделяющаяся в результате ядерных реакций равна
$Дж$
Поэтому

$л е т$

1.1

1.2

1.3

$л е т$

2.1

2.1 В данном случае нет необходимости находить полную формулу для гравитационной энергии, достаточно только определить вид зависимости, который проще всего найти с помощью метода размерностей. Простой анализ показывает, что искомая зависимость должна иметь вид

Где - безразмерный коэффициент. Так как гравитационная энергия есть энергия притяжения, то она является отрицательной.

Примечание. При необходимости можно рассчитать и точное численное значение этого коэффициента. Для этого выделим внутри однородного шара тонкий сферический слой радиуса и толщиной . Гравитационная энергия взаимодействия этого слоя с шаром определяется по формуле

где - масса части шара, находящейся под рассматриваемым слоем, - масса выделенного слоя. Подставим эти значения в формулу для гравитационной энергии и проведем элементарное интегрирование по всем слоям, в результате получим

2.2

2.2 Полная энергия звезды состоит из ее внутренней энергии, определяемой формулой (1), приведенной в условии задачи, и гравитационной энергией, найденной в предыдущем пункте:

Теперь необходимо выразить плотность звезды через ее массу и радиус:

Окончательное выражение для энергии принимает вид

где - некоторые положительные величины, не зависящие от массы и радиуса планеты, причем последнее постоянное слагаемое может быть опущено.

Схематический вид зависимости легко установить, рассматривая поведение функции в предельных случаях и . Простой анализ показывает, что при данная функция имеет точку минимума, в противном случае она имеет точку максимума.

Для примера на рисунке показаны графики функции , при различных значениях показателя степени , которые приведены на рисунке.

2.3

2.3 Чтобы положения равновесия (ему соответствуют точки экстремума энергии) было устойчивым необходимо, чтобы функция имела минимум энергии. В нашем случае, как это следует из анализа зависимости , это условие достигается при