3.1 По круговому витку радиуса протекает электрический ток, при этом виток обладает магнитным моментом . Найдите индукцию магнитного поля в центре витка.

3.2 Тот же виток помещается во внешнее однородное магнитное поле с индукцией так, что вектор магнитного момента составляет угол с направлением . Найдите модуль механического момента сил , действующего на виток со стороны внешнего магнитного поля.

3.3 Виток медленно поворачивается во внешнем однородном магнитном поле так, что направление его магнитного момента изменяется от положения, когда направлен по полю (), до положения, когда направлен против поля (). Найдите механическую работу сил со стороны магнитного поля при таком повороте.

Электронный парамагнитный резонанс

Если заряженная частица вращается или движется по замкнутой траектории, то у неё имеется механический момент, а вместе с ним возникает и магнитный момент. При этом выполняется универсальное гиромагнитное отношение, которое показывает, как связаны между собой магнитный и механический момент частицы.

Пусть электрон в атоме движется по круговой орбите так, что его орбитальный момент импульса относительно центра равен . Такое движение можно рассматривать как эквивалент кругового электрического тока, который обладает магнитным моментом . Между магнитным моментом и моментом импульса выполняется гиромагнитное соотношение

где — элементарный заряд, — масса электрона, а — так называемый множитель Ландэ.

3.4 Найдите множитель Ландэ для кругового орбитального движения электрона.

Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) — это явление, при котором вещество с неспаренными электронами поглощает электромагнитное излучение (обычно СВЧ-диапазона), если оно находится в постоянном магнитном поле. Такое поглощение происходит не всегда, а только при строго определенной частоте, поэтому его называют резонансным.

Представим, что атом содержит во внешней оболочке один неспаренный электрон с нулевым орбитальным моментом. У такого электрона есть собственный момент вращения — спин. Когда образец с веществом помещается в постоянное магнитное поле соленоида с индукцией , то относительно него спин может ориентироваться двумя способами: вдоль направления магнитного поля с проекцией момента импульса , или против него с проекцией . Эти два положения обладают разной энергией, поэтому между ними возможен переход. В дальнейшем считайте, что множитель Ландэ для спина в два раза больше, чем для орбитального движения электрона. Образец облучают электромагнитной волной с фиксированной круговой частотой , которая может заставить электрон переходить между двумя состояниями с разными проекциями спина, а затем медленно меняют величину индукции внешнего магнитного поля, фиксируя изменение интенсивности поглощения электромагнитных волн.

3.5 Найдите частоту внешнего электромагнитного излучения и рассчитайте ее численное значение, если максимум поглощения пришелся на индукцию магнитного поля мТл.

Теперь атомы того же типа внедрены в неизвестное вещество, из которого изготовлен сердечник для соленоида.

3.6 Указанное в предыдущем пункте магнитное поле достигалось при силе тока в обмотке соленоида А. Определите новое значение силы тока в обмотке соленоида для резонансного поглощения, если магнитная проницаемость неизвестного вещества равна .

Термодинамическое равновесие

Пусть сердечник, помещенный в тоже самое магнитное поле, находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре К, а полное число внедренных атомов составляет . Обозначим через разность между количеством атомов, находящихся на нижнем и верхнем энергетических уровнях.

3.7 Рассчитайте при заданных условиях.

При взаимодействии электромагнитного поля с веществом происходят три процесса:

1. Поглощение – атом с более низкого энергетического уровня переходит на более высокий уровень с поглощением фотона, при этом количество переходов с нижнего уровня в единицу времени определяется выражением:
   
   где – плотность электромагнитного излучения;

2. Вынужденное излучение – под действием внешнего фотона атом с более высокого энергетического уровня переходит на более низкий уровень с излучением другого фотона, при этом количество переходов с верхнего уровня в единицу времени определяется выражением:
   

3. Спонтанный переход – самопроизвольный переход атома с верхнего на нижний уровень с испусканием фотона, при этом количество переходов с верхнего уровня в единицу времени определяется выражением:
   

Константы называются коэффициентами Эйнштейна. Планк показал, что в состоянии термодинамического равновесия плотность энергии равновесного электромагнитного излучения описывается формулой:

3.8 Докажите, что .

Наличие внешнего источника микроволнового поля

В начальный момент времени система находится в термодинамическом равновесии при указанной выше температуре. Затем включается источник микроволнового излучения таким образом, чтобы плотность электромагнитного излучения в образце оставалась постоянной во времени, а ее величина такова, что спонтанными переходами в системе можно пренебречь.

3.9 Найдите аналитическую зависимость разности между количеством атомов, находящихся на нижнем и верхнем энергетических уровнях, в зависимости от времени , считая, что .

3.10 Известно, что разность между количеством атомов, находящихся на нижнем и верхнем энергетических уровнях, через время с после включения источника изменилась ровно в 2 раза. Рассчитайте при данных условиях мощность микроволнового источника излучения в начальный момент времени.

В действительности поглощение и вынужденное излучение не являются единственными процессами, в результате которых электрон, находящийся на верхнем уровне, теряет свою избыточную энергию. Большую роль играют процессы релаксации, в результате которых избыток энергии передается окружающему веществу, ведь именно благодаря им осуществляется равновесное распределение по энергетическим уровням.

Процесс релаксации для уровня 1 выглядит как непрерывные переходы с уровня 1 на уровень 2 и обратно, тоже самое справедливо для уровня 2. При этом члены, описывающие релаксацию для уровня 1, записываются через константы и следующим образом

XXII Международная Жautyковская Олимпиада/Теоретический тур с. 8/8

а, следовательно, аналогичное соотношение можно записать и для уровня 2.

3.11 Пусть для данного вещества . Рассчитайте при данных условиях мощность микроволнового источника излучения в установившемся режиме измерения спектра методом электронного парамагнитного резонанса.

Математическая подсказка для задач теоретического тура

Вам может понадобиться знание следующих формул: — произвольная постоянная;

— произвольная постоянная;

— произвольная постоянная;

Список физических констант

Ускорение свободного падения ;

Универсальная газовая постоянная ;

Скорость света в вакууме ;

Приведенная постоянная Планка ;

Постоянная Больцмана ;

Магнитная постоянная ;

Электрическая постоянная ;

Постоянная Стефана-Больцмана ;

Элементарный заряд ;

Масса электрона .