3.1 Площадь кругового витка радиуса равна

и при протекании по нему тока модуль его магнитного момента равен

Магнитная индукция в центре кругового витка определяется выражением

откуда следует, что

3.2 Если лежит в плоскости витка, то, анализируя пары сил Ампера, действующих на противоположные относительно вектора индукции магнитного поля элементы витка, можно показать, что модуль суммарного момента сил составляет

В общем случае магнитный момент образует с полем угол . Разложим на составляющие: одну в плоскости витка, а другую перпендикулярную ей. Очевидно, что перпендикулярная составляющая не создает момента сил, вызывая растяжение или сжатие витка, а так как проекция вектора на плоскость витка составляет

то модуль результирующего момента сил Ампера равен

3.3 Элементарная работа при малом повороте витка на угол равна

При повороте витка от состояния, когда , до положения , угол изменяется от до , а полная работа определяется интегралом

Электронный парамагнитный резонанс

3.4 Пусть электрон вращается по круговой орбите радиуса с периодом , тогда его движение можно представить как круговой ток силой

и магнитным моментом

Момент импульса электрона при движении по круговой траектории со скоростью равен

откуда, принимая во внимание выражение для периода обращения

получаем

В векторном соотношении между магнитным и механическим моментами необходимо учитывать знак в силу отрицательности заряда электрона.

3.5 Согласно п. 3.3 для переворота спина необходимо совершить работу (9), что вместе с формулой в условии для магнитного момента дает

которая совершается за счет энергии фотона

то есть выполняется закон сохранения энергии

Таким образом, используя , получаем

что равно так называемой Ларморовской циклической частоте вращения электрона в магнитном поле.

3.6 В отсутствие сердечника магнитное поле в соленоиде пропорционально силе тока, то есть

а при наличии сердечника магнитное поле также пропорционально магнитной проницаемости вещества

Резонанс наступает при одинаковой величине магнитной индукции, поэтому

Термодинамическое равновесие

3.7 В состоянии термодинамического равновесия распределение электронов в атоме по энергетическим уровням подчиняется распределению Больцмана, поэтому

а с другой стороны полное число атомов известно и равно

Таким образом, из (22) и (23) получаем при условии

3.8 В состоянии термодинамического равновесия скорости переходов вверх и вниз должны быть одинаковы, так как количество атомов на энергетических уровнях изменяться не должно, в частности для нижнего уровня имеем

откуда для плотности энергии электромагнитного излучения получаем

Учитывая соотношение (22) и сравнивая с формулой Планка, заключаем, что

Наличие внешнего источника микроволнового поля

3.9 С учетом равенства коэффициентов Эйнштейна и пренебрежения спонтанными переходами, уравнение (25) переписывается в виде

которое с учетом (23) дает

Используя начальное условие , получаем решение уравнения (29) в виде

Интересно отметить, что под действием внешнего источника переменного поля с течением времени разность в количестве атомов на двух уровнях падает до нуля.

3.10 Из формулы (30) следует, что

Так как при переходе каждого атома с нижнего уровня на верхний поглощается один квант энергии переменного поля , а при каждом обратном переходе такая же энергия выделяется, то выражение, описывающее поглощение энергии переменного поля в сердечнике имеет вид

а это означает, что в начальный момент времени мощность источника равна

3.11 Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля, тогда приведенное в условии уравнение для уровня 1 переписывается в виде

Поскольку уравнение (34) должно включать в себя условие термодинамического равновесия, то при обращении слева производной в ноль равновесная концентрация должна быть равна , откуда следует, что

Подставляя (35) в (34) и добавляя член из (29), получаем уравнение для с учетом наличия переменного поля

Так как требуется определить мощность источника в стационарном режиме, то и разность в числе атомов на нижнем и верхнем уровне должна быть постоянной, то есть , откуда следует

Мощность источника по-прежнему определяется уравнением (42) и с учетом того, что , окончательно получаем

Обратите внимание, что в отличие от 3.10 мощность источника не зависит от плотности энергии электромагнитного поля, это так называемый режим насыщения.