Эксцентричная машинка — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2011 10 класс № 3

Координаты центра масс системы, состоящей из двух тел, определяются по формулам

где - массы тел, и - координаты их центров масс.
Свяжем систему отсчета с центром масс платформы . В этой системе отсчета координаты центра масс рассчитываются по формулам

где высота точки подвеса (несущественная для дальнейшего).
Вектор скорости движения шарика направлен перпендикулярно стержню и по модулю равен . Проекции скорости центра масс системы определяются по формулам аналогичным (1). В рассматриваемом случае они равны

Ускорение шарика является центростремительным, поэтому направлено к оси вращения, равным по модулю . Так же не сложно спроецировать это ускорение на оси координат и найти тем самым ускорение центра масс системы:
Эту задачу проще всего решать, используя известное обобщение уравнения второго закона Ньютона для произвольной системы:
$в н$
произведение массы всей системы на ускорения центра масс равно сумме внешних сил, действующих на систему (иными словами – внутренние силы не могут изменить скорость центра масс). В рассматриваемой задаче внешними силами, действующими на систему, являются: - сила тяжести, - сила реакции горизонтальной поверхности, - силы реакции опор, удерживающих платформу.

В проекции на вертикальную ось уравнение (4) будет иметь вид (пока сама платформа неподвижна):

Платформа начнет попрыгивать, когда нормальная реакция обратится в нуль .
Выражая из уравнения (5) модуль этой силы и используя выражения (3), получим

Минимальная угловая скорость , при которой возможно выполнения условия отрыва (6), соответствует углу отрыва, при котором , т.е. когда стержень расположен вертикально. В этом случае из уравнения (6) находим

Дополнение (альтернативный вариант).

Данный пункт задачи допускает и более традиционное решение. При минимальной угловой скорости отрыв произойдет, когда шарик находится в верхней точке. В этом случае сила реакции стержня определяется из уравнения второго закона Ньютона для шарика

Отрыв платформы от горизонтальной поверхности произойдет, если эта сила превысит силу тяжести платформы:

Из этих двух условий следует выражение (7) для минимальной угловой скорости, при которой платформа начнет отрываться от поверхности.

Рассмотрим движение платформы в инерциальной системе отсчета, связанной с неподвижной горизонтальной поверхностью. Обозначим¹ скорость платформы . В этой системе отсчета движение шарика является «составным»: равномерное вращение вокруг оси и поступательное движение вместе с платформой. Так как в данном случае нет внешних сил, имеющих горизонтальные составляющие, то ускорение центра масс всей системы должно быть равно нулю! Следовательно, скорость центра масс системы должна оставаться неизменной и определяться начальным условием – скоростью центра масс в момент отпускания платформы. Для определения скорости центра масс всей системы необходимо к найденной скорости центра масс, в системе отсчета, связанной с платформой прибавить скорость движения платформы

Заметим, что скорость центра масс может быть найдена и непосредственно и закона сложения скоростей

¹ Заранее не очевидно, куда будет направлена эта скорость. Поэтому на рисунке мы направили ее в положительном направлении оси , а дальше уравнения «покажут» куда она направлена на самом деле!

3.1

3.1 Константа в выражении (8) определяется скоростью центра масс в момент времени, когда отпустили платформу. Если платформу отпустили в тот момент, когда шарик находился в нижней точке, то горизонтальная составляющая скорости равна , а скорость платформы равна нулю. Следовательно, скорость центра масс в этот момент времени (она же константа в выражении (8)) равна

Подставляя это значение в уравнение (8), находим из него зависимость скорости платформы от времени (с учетом того, что )

Чтобы записать закон движения платформы, обратим внимание, что выражение для ее скорости содержит две составляющих: одну постоянную , вторую переменную , которая изменяется по тому же закону, что и скорость центра масс в системе отсчета, связанной с платформой (2), только с противоположным знаком! Первая составляющая описывает равномерное движение, вторая описывается тем же законом, что и координата центра масс (1), только с противоположным знаком. Таким образом, закон движения платформы может быть записан в виде

Строго говоря, в этом выражении следует добавить начальную координату , однако, совместив начало отсчета оси с начальным положением платформы, мы эту постоянную делаем равным нулю.

3.2

3.2 Если платформу отпустили, когда стержень располагался горизонтально, то в этот момент времени горизонтальная проекция скорости шарика равна нулю, следовательно, и скорость центра масс всей системы также равна нулю. Поэтому в этом случае из уравнения (8) следует, что скорость платформы равна

Следовательно, зависимость координаты от угла поворота в данном случае имеет вид

Учтем, что при , и запишем зависимость координаты от времени в виде

Наконец, полагая, что при , находим и получаем окончательный вид закона движения

Полученное выражение легко объяснимо – платформа движется так, что положение центра масс всей системы остается неизменным.

Схематические графики полученных законов движения (10) и (14) показаны на рисунке. Видно их принципиальное различие в одном случае платформа колеблется вокруг некоторого среднего положения, во втором – колебания накладываются на поступательное движение.

В этом случае также воспользуемся уравнением второго закона Ньютона для системы тел (4). В рассматриваемом в этом пункте задачи внешними силами, действующими на систему, являются: – сила тяжести, – сила реакции горизонтальной поверхности, $т р$ – сила трения, действующая на платформу со стороны горизонтальной поверхности.

Для определения условий начала скольжения запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси для покоящейся платформы:

$т р$

Подставим выражения для ускорения центра масс:

$т р$

В этих уравнениях $т р$ – сила трения покоя, платформа не будет проскальзывать, если модуль силы трения не достигнет своего максимального значения, то есть при выполнении условия

$т р$

Выразим из уравнений (16) значение силы реакции и подставим их в неравенство (17)

$т р$

где – частота, при которой происходит отрыв от горизонтальной поверхности, найденная ранее в п. 2.

Схематически построим графики функций (рис. 10), входящих в неравенство (18). Из этих графиков следует, что при постепенном увеличении угловой скорости произойдет в интервале углов , где синус угла положителен. Поэтому для определения угла, при котором произойдет срыв необходимо решить уравнение

Для его решения проведем известные преобразования

где . Теперь это уравнение преобразуется к простейшему виду

Минимальное значение угловой скорости вращения стержня, при которой начнется горизонтальное движение платформы, определяется условием

При этом угол, при котором произойдет срыв, оказывается равным

Подставляя численные значения параметров, вычислим минимальную скорость

Из рисунка 10б следует что, при малом превышении скорости , за один оборот срыв будет происходить дважды – один раз в одну сторону, другой раз в другую (при прочих равных условиях), поэтому средняя скорость движения платформы будет равна нулю.

Последнее замечание.

Задача может решаться и более традиционным способом, рассматривая силы, возникающие в стержне и действующие на ось и на шарик. Только следует учитывать, что при ускоренном движении платформы и при раскручивании шарика помимо продольных, будут присутствовать и поперечные силы (см. рис. 11).

Примечания

1. Заранее не очевидно, куда будет направлена эта скорость. Поэтому на рисунке мы направили ее в положительном направлении оси Ox, а дальше уравнения «покажут» куда она направлена на самом деле! ↩

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи