Испарение воды — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2011 11 класс № 3

Формулу для числа ударов молекул о стенку можно получить различными способами. Например, за время до стенки долетят и ударятся о нее те молекулы, которые находятся на расстоянии меньшем , где - проекция скорости молекулы на направление, перпендикулярное стенке. Если площадь рассматриваемой стенки равна , то число этих молекул равно (с учетом того, что половина молекул летит к стенке, а половина от нее)

Далее необходимо провести усреднение по скоростям молекул. Корректный расчет приводит к результату

Комментарий.

Трудно ожидать, что учащиеся средней школы выведут точно эту формулу, поэтому при оценивании работы приемлемы и другие значения коэффициентов в формуле (2). Например, более традиционное «школьное» выражение

$с р к в$

Численные значения коэффициентов равны в формуле (2); . Поэтому в численных расчетах погрешность в допустима.*

Число вылетевших молекул можно найти, используя понятие насыщенного водяного пара. Если над поверхностью воды находится насыщенный водяной пар, то число молекул вылетающих с поверхности равно числу молекул, возвращающихся обратно. Число возвращающихся молекул равно числу молекул, ударяющихся о поверхность, умноженному на коэффициент (доля молекул, задерживаемых водой). Поэтому, число вылетающих в единицу времени с единицы площади молекул равно

$н$

где концентрация молекул насыщенного пара выражена из уравнения состояния $н$ .

Масса всех молекул, вылетевших с единицы площади за промежуток времени равна

где — масса одной молекулы воды. С другой стороны эта же величина может быть выражена через объем испарившейся воды . Приравнивая эти два выражения, найдем скорость высыхания

$н н н$

Подстановка численных значений приводит к результату

$н м с м час$

Как и было сказано в условии, оценка слишком завышена — трудно согласиться с такой высокой скоростью испарения.

Так как над водой находится влажный воздух, то часть молекул воды, находящихся в воздухе, возвращается обратно в жидкость. Число этих молекул можно рассчитать по формуле (3), заменив в ней давление насыщенного пара на парциальное давление, которое равно $н$ ( — относительная влажность воздуха). Таким образом, скорость испарения будет определяться разностью чисел молекул, вылетающих из жидкости и возвращающихся обратно. Иными словами, полученную оценку (6) следует умножить на :

$н м с м час$

В стационарном состоянии диффузионный поток должен быть равен потоку частиц, покидающих поверхность воды.

4.1

4.1 Так как диффузионный поток пропорционален величине и постоянен по всей высоте сосуда, то концентрация молекул водяного пара должна убывать линейно с увеличением высоты над поверхностью сосуда. С учетом граничных условий, эта зависимость может быть записана в виде

Так как влажность воздуха при постоянной температуре пропорциональна концентрации, то аналогичное соотношение справедливо и для относительной влажности

где — относительная влажность на высоте

4.2

4.2 При заданных условиях диффузионный поток молекул воды определяется законом Фика, который приводит к выражению (с учетом $н$ )

$н$

4.3

4.3 С другой стороны этот же поток может быть выражен через число молекул воды вылетающих с поверхности жидкости

где - величина, определяемая формулой (3).

Приравнивая эти потоки, получим

где обозначено .

Найдем также величину

Так как скорость испарения пропорциональна , то расчета скорости испарения необходимо предыдущую оценку (6) умножить на коэффициент . Рассчитаем численное значение параметра

Так как этот параметр чрезвычайно мал, то им можно пренебречь в знаменателе выражения (12).

В этом случае скорость высыхания оказывается равной

Итак, основной вывод из решения данной задачи – скорость высыхания определяется не скоростью выхода молекул из жидкости, а скоростью диффузии водяного пара в окружающую среду!

Заметим, что в данном случае скорость высыхания полностью определяется диффузионным потоком, а над поверхностью воды находится практически насыщенный пар. В этом прямая подстановка значения параметра в выражение для потока испаряющихся частиц дает

Таким образом, этот поток равен диффузионному потоку, при условии, что над жидкостью находится насыщенный пар. С этой точки зрения можно провести и прямой расчет скорости высыхания

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи