Взвешивание ... площади! — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2017 9 класс № Э1

Часть 1. Инженерная

Рассмотрим предложенную процедуру построения эллипса с помощью двух кнопок и нити постоянной длины. Необходимая длина нити есть сумма расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов. Эту длину легко найти, если рассмотреть крайнее положение карандаша (т.е. точки ) на оси . В этом случае длина нити должна быть равной

Важно отметить, что эта длина не зависит положения фокусов (величины ), поэтому для всех фокусов используется нить одной и той же длины.
Отметим, что для наших измерений использовались эллипсы с большой полуосью, равной мм.

1.1

1.1 Результаты измерений зависимости малой полуоси эллипса от расстояния приведены в таблице 1 и на графике 1.

Таблица 1.

, мм	, мм
140	57
130	74
120	88
110	102
100	112
90	119
80	126
70	131
60	136
50	140

1.2

1.2 Теоретическую формулу для полученной зависимости можно получить, рассмотрев положение карандаша на оси .

Из теоремы Пифагора непосредственно следует, что

(2)

Наиболее наглядным доказательством справедливости этой формулы служит график линеаризованной зависимости , который показан на следующем рисунке.

График этой зависимости представляет собой прямую линию с коэффициентом наклона, равным -1 и отсекающую на осях равные отрезки примерно равные $с м$ .

Этот график экспериментально доказывает теорему Пифагора.

2.1

2.1 Для проведения необходимых измерений следует воспользоваться следующей последовательностью действий. Подвесить вырезанную фигуру на игле, проходящую через отверстие 1. На иглу подвесить отвес. Нить отвеса проходит через центр масс, который также находится на оси симметрии фигуры . Точка их пересечения и является центром масс. Не сложно измерить и расстояние от центра полуэллипса. После этого в отверстие 2 следует подвесить нить с грузом (гайкой). Далее следует измерить расстояния и . Тогда по правилу рычага отношения масс вырезанной фигуры и гайки будет равно отношению плеч

(3)

2.2

2.2 Результаты необходимых измерений приведены в таблице 2.

Таблица 2.

, мм	, мм	, мм	, мм	, мм
20	141	60	55	7	7,86
30	139	58	48	8	6,00
40	136	57	46	8	5,75
50	132	56	47	8	5,88
60	128	53	48	9	5,33
70	122	51	45	9	5,00
80	116	48	45	10	4,50
90	109	45	43	10	4,30
100	101	41	41	11	3,73
110	88	36	38	11	3,45
120	73	29	38	12	3,17
130	57	24	34	12	2,83

2.3

2.3 На графике 3 показана зависимость координаты центра масс вырезанной фигуры от длины полуоси эллипса .

Из графика следует, что координата центра масс прямо пропорциональная длине полуоси :

где коэффициент пропорциональности, найденный по наклону графика примерно равен .

Отметим, что теоретическое значение этого коэффициента , что очень близко к измеренному значению.

2.4

2.4 Полукруг является частным случаем полуэллипса, поэтому отношение $с$ для полукруга (когда ) равно значению коэффициента .

2.5

2.5 График зависимости отношения масс от длины полуоси показан на следующем рисунке.

Этот график показывает, что масса полуэллипса пропорциональная длине полуоси . Так как масса пропорциональная площади фигуры, то и площадь эллипса пропорциональна величине , т.е.

Коэффициент пропорциональности можно найти, зная формулу для площади круга . Как уже отмечалось, круг является частным случаем эллипса, когда его полуоси равны и совпадают с радиусом круга. Сравнивая формулы для площадей эллипса и круга приходим к выводу, что площадь эллипса рассчитывается по формуле