Сферическое зеркало

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2018 10 класс № 2

«Сферическая аберрация» Вогнутое зеркало, широко используемое при астрономических и оптических наблюдениях, представляет собой сферический сегмент (небольшая часть сферы, отсечённая плоскостью) радиуса , на внутреннюю поверхность которого нанесено покрытие, зеркально отражающее свет. Центр сферы находится в точке (см. рис.).

При построении изображений в вогнутом зеркале традиционно считается, что пучок параллельных лучей, распространяющихся вблизи главной оптической оси зеркала (т.н. параксиальных лучей), после отражения от зеркала пересекается в точке главного фокуса на расстоянии от линзы (далее ). Данное свойство вогнутого зеркала аналогично свойству собирающей линзы, поэтому иногда вогнутое зеркало называют собирающим зеркалом. Математически параксиальное приближение соответствует приближению малых углов, в рамках которого применимы приближенные формулы

Часть 1. «Классическая – параксиальное приближение»

Рассмотрим пучок лучей, распространяющихся вблизи оптической оси вогнутого зеркала параллельно ей. Радиус кривизны зеркала $см$ .

1.1 Докажите, что все лучи идущие параллельно оптической оси после отражения от зеркала пересекаются в одной точке. Найдите фокусное расстояние зеркала.

1.2 Точечный источник света на ходится на оптической оси зеркала на расстоянии (). Докажите, что все лучи выходящие от источника и отраженные от зеркала пересекаются в одной точке (т.е. формируют изображение). Найдите расстояние от этой точки до оптического центра зеркала точки .

1.3 Постройте изображение предмета (стрелки) в вогнутом зеркале (см. рис.) Длина стрелки равна половине фокусного расстояния.

Часть 2. «Аберрационная …дальние лучи»

Явление сферической аберрации² заключается в том, что два луча параллельных главной оптической оси зеркала, идущие на достаточно больших различных расстояниях и от неё, всё же пересекутся с осью не в одной, а в различных точках (фокусах) и (см. рис.). То есть, говоря «абсолютно строго», главного единого фокуса вогнутого зеркала не существует! Но поскольку изображение, несколько искажённое у краёв, в таком зеркале мы всё же видим, то сильно беспокоиться по этому поводу не нужно.

Во второй части задачи рассмотрим световые лучи, подверженные явлению сферической аберрации, т.е. не являющиеся параксиальными.

² [^2]

Математически это означает, что эти лучи идут также параллельно главной оптической оси зеркала на расстоянии, которое сравнимо с радиусом кривизны зеркала. В этом случае углы падения нельзя считать малыми.

2.1 На зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси и полностью освещающий зеркало. Нарисуйте схематически ход этих лучей после отражения от зеркала. Нарисуйте схематически огибающую отраженных лучей.

2.2 Световой луч распространяется параллельно оси зеркала на расстоянии $см$ от оптической оси зеркала. На каком расстоянии он пересечёт оптическую ось зеркала (это и есть «его» фокусное расстояние)?

2.3 Введем понятие степени аберрации луча как отношение ( — фокусное расстояние в параксиальном приближении). При каком расстоянии степень аберрации достигнет ? Нарисуйте ход этого луча.

Примечания

2. Слово аберрация означает искажение. ↩

Нужна подсказка? →

Условие

Примечания

Похожие задачи