Нарисуй сечение через оптическую ось для произвольного луча, идущего параллельно оси; отметь углы при центре и точке отражения.

Применяй закон отражения (угол падения = угол отражения) и параксиальное приближение , для малых углов.

1. Запиши выражение для поперечного отстояния луча через радиус сферы и угол при центре (из треугольника с радиусом): через и .
2. Для треугольника с отражённым лучом вырази тот же через фокусное расстояние и угол отражения (учти, что отражённый угол = по построению).
3. Приравняй оба выражения для и получи соотношение, содержащие , и .
4. Вырази из полученной системы.

Нарисуй лучи, исходящие из точечного источника на оси, и пометь соответствующие углы падения и отражения у различных точек зеркала.

Воспользуйся законом отражения и соображениями подобия треугольников, чтобы связать углы с расстояниями до источника , до изображения и радиусом ; используй малые углы () где нужно.

1. Запиши соотношения, связывающие малые углы и расстояния (например, выражения вида , , для соответствующих секущих), и обозначь общую величину в пересечениях.
2. Запиши геометрическую связь между углами, полученную из закона отражения (в решении это даёт соотношение типа ).
3. Подставь выражения для углов из первых соотношений во второе, получив уравнение, связывающее , и (зеркальная формула).
4. Вырази из полученной системы.

Нарисуй предмет (стрелку) и проведи через её концы несколько характерных лучей: один параллельно оси, один через центр сферы, и один через фокус (или их зеркальные аналоги).

Пользуйся стандартными правилами построения для вогнутого зеркала: луч через центр отражается обратно, параллельный — через фокус, луч через фокус — после отражения идёт параллельно оси.

1. Для верхней и нижней точки стрелки построй указанные характерные лучи и их отражения.
2. Найди пересечения отражённых лучей (или их продолжений) на стороне изображения — это будут соответствующие точки изображения.
3. Соедини полученные точки, получив изображение стрелки; при необходимости построй вспомогательную прямую для направлений отражённых лучей.
4. Вырази координаты (положение и размер) точек изображения из пересечений построенных лучей.

Подумай, при каком положении пересечения отражённого луча с осью степень аберрации станет равной единице — что это значит геометрически для точки пересечения относительно параксиального фокуса.

Воспользуйся определением степени аберрации и ранее полученной связи между и (или выражением для ); приравняй для условия 100% аберрации.

1. Подставь условие в определение и получи требование на (или на ).
2. Совмести это требование с уравнением, полученным в пункте 2.2, связывающим , и .
3. Реши полученную систему относительно (и при необходимости найдёте соответствующий угол падения ).
4. Вырази искомое значение из полученной системы.