Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.Задание состоит из трех разных задач, объединенных одной общей математической идеей.
Задача 1.1
Небольшой шарик бросают вертикально вверх с начальной скоростью
1.1.1 Запишите закон движения шарика (зависимость его координаты от времени)
Нарисуй траекторию движения и обозначь начало отсчёта в точке броска; подумай, как меняется скорость шарика со временем.
Для движения с постоянным ускорением запиши связь между координатой, начальной скоростью и ускорением в общем виде (закон кинематики для равномерно ускоренного движения).
- Запиши, что проекция ускорения равна
и скорость в момент равна . - Интегрируй проекцию скорости по времени, чтобы получить координату
. - Учитывай начальное условие
. - Выразите
из полученной зависимости.
1.1.1 Так как движение происходит с постоянным ускорением, то закон движения шара имеет вид:
1.1.2 Запишите уравнение, позволяющее определить, через какое время
Подумай, какие значения времени соответствуют одному и тому же положению по высоте при подъёме и спуске.
Подставь в закон движения из предыдущего пункта значение
- Подставь
в и приведи равенство к стандартному виду квадратного уравнения относительно . - Определи коэффициенты этого квадратного уравнения (при
, при и свободный член). - Запиши полученное квадратное уравнение для
. - Выразите
из полученной системы (т. е. реши квадратное уравнение стандартными приёмами).
1.1.2 Для расчета времени движения, следует решить уравнение
Которое перепишем в традиционном для квадратных уравнений виде:
1.1.3 Укажите, при каком соотношении между параметрами: начальной скорости
Вспомни, как число корней квадратного уравнения связано с физическим смыслом подъёма и падения шарика.
Проанализируй дискриминант квадратичного уравнения для времени
- Выпиши коэффициенты квадратного уравнения из пункта 1.1.2 и запиши выражение для дискриминанта
в терминах . - Исследуй случаи
, , $D<0$ и запиши условия на $h$ через $v_0$ и $g$ в каждом случае. - Дай физическую интерпретацию каждого случая (два момента — подъём и спуск; касание вершины; недостижимая высота).
- Выразите требуемое соотношение между
, , из условия на знак дискриминанта.
1.1.3 Дискриминант этого уравнения равен
При положительном значении дискриминанта, т.е. при
Квадратное уравнение (3) имеет два корня. Физический смысл этого очевиден: шарик будет находиться на высоте
При
уравнение (3) решений не имеет, что означает, что шарик не поднимется на такую высоту.
1.1.4 Определите максимальную высоту
Задача 1.2.
Новогодняя гирлянда состоит из
Подумай о том мгновении движения, когда шарик перестаёт подниматься. Что особенного происходит с его скоростью в этот момент?
Воспользуйся уравнением движения из пункта 1.1.2, запиши его как квадратное уравнение относительно времени и применяй критерий вырожденности корней квадратичного уравнения (поставь соответствующее выражение равным нулю).
- Запиши уравнение
в стандартном виде квадратичного уравнения относительно . - Выпиши выражение дискриминанта этого квадратичного уравнения и приравняй его к нулю (условие вырожденного корня).
- Реши полученное равенство относительно
, проведя алгебраические преобразования. - Вырази максимальную высоту
из полученной системы.
1.1.4 Наконец, при
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
2
Задача 1.2.
1.2.1 Найдите, при каком числе лампочек, суммарная мощность гирлянды будет равна
Представь, как изменяется общее сопротивление гирлянды при увеличении числа параллельно соединённых лампочек; нарисуй эквивалентную схему с сопротивлением гирлянды и поправкой проводов.
Применяй закон Ома и формулу мощности: для цепи с суммарным сопротивлением запиши выражение мощности через напряжение и сопротивления (мощность через общий ток и сопротивление гирлянды).
- Обозначь сопротивление всей гирлянды через
и запиши выражение полной цепной мощности через , , и закон Ома. - Подставь отношение мощностей и приведи уравнение к виду квадратного уравнения относительно
. - Свяжи найденное
с числом лампочек через (по опубликованному решению). - Выразите
из полученной системы (т. е. найдите через корни квадратного уравнения для ).
1.2.1 Так как сопротивления всех лампочек одинаковы, то при их параллельном соединении общее сопротивление гирлянды будет равно
В этом случае мощность гирлянды будет равна
Для расчета сопротивления гирлянды следует решить квадратное уравнение:
Это уравнение имеет два корня, если его дискриминант положительный:
В этом случае корнями уравнения (2) являются
Поэтому число лампочек, при котором мощность принимает найденное значение должно быть равно
Здесь квадратные скобки
1.2.2 Определите, чему может быть равна максимальная мощность гирлянды
Задача 1.3.
Человек должен пересечь квадратное вспаханное поле, длина стороны которого равна
1.2.2 При максимальной мощности гирлянды дискриминант уравнения (3) равен нулю, поэтому
Откуда следует, что
Как следует, из формулы (4) эта мощность достигается, если сопротивление нагревателя равно
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
3
Итак, сопротивление гирлянды должно быть равно
Не целое число лампочек включать в цепь не рекомендуется. Поэтому необходимо рассчитать мощности гирлянды при двух ближайших к
Численные значения этих мощностей равны:
Таким образом, окончательный ответ задачи:
Максимальная мощность гирлянды равна
Примечание. Учитывая, что исходные численные значения приведены с точностью до
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
4
Задача 1.3.
1.3.1 При каком значении
1.3.1 Запишем выражение для времени движения при произвольном значении
Для определения минимума этой функции воспользуемся уже апробированной методикой. Сформулируем обратную задачу: при каком значении
Для упрощения алгебраических выкладок, обозначим
Приравняем дискриминант этого уравнения к нулю. В этом случае уравнение (3), а следовательно, и уравнение (2) будут иметь единственное решение, при котором время
Это условие выполняется при
Окончательно получаем, что минимальное время движения достигается при
Теоретический тур. Вариант 2.
9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
5
Похожие задачи
Попади «в яблочко!»
Во всех частях задачи сопротивлением воздуха следует пренебречь.
Ось
Ускорение свободного падения считать …
Разминкавар. 1
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.
У Р Б П ≈3/5 Т1
Разминка
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.
Задача 1.1
Парафиновую (плотностью
Вниз по ступенькам
В данной задаче вам предлагается рассмотреть движение вниз по ступенькам в различных вариантах. В скобках в пунктах задачи указаны величины, через …
У Р Б П ≈2/5 Т1
Гигантомания
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач на одну тему.
Во всех задачах следует пренебрегать:
• взаимодействием тел с Солнцем и …
Задача 9-3
Задание 3. «Платформа»*
Горизонтальная платформа начинает подниматься с поверхности земли с постоянным ускорением