Нарисуй траекторию движения и обозначь начало отсчёта в точке броска; подумай, как меняется скорость шарика со временем.

Для движения с постоянным ускорением запиши связь между координатой, начальной скоростью и ускорением в общем виде (закон кинематики для равномерно ускоренного движения).

1. Запиши, что проекция ускорения равна и скорость в момент равна .
2. Интегрируй проекцию скорости по времени, чтобы получить координату .
3. Учитывай начальное условие .
4. Выразите из полученной зависимости.

Подумай, какие значения времени соответствуют одному и тому же положению по высоте при подъёме и спуске.

Подставь в закон движения из предыдущего пункта значение и получишь уравнение, равное нулю — квадратное уравнение относительно времени .

1. Подставь в и приведи равенство к стандартному виду квадратного уравнения относительно .
2. Определи коэффициенты этого квадратного уравнения (при , при и свободный член).
3. Запиши полученное квадратное уравнение для .
4. Выразите из полученной системы (т. е. реши квадратное уравнение стандартными приёмами).

Вспомни, как число корней квадратного уравнения связано с физическим смыслом подъёма и падения шарика.

Проанализируй дискриминант квадратичного уравнения для времени ; знак дискриминанта определяет число решений уравнения и соответствующие физические ситуации.

1. Выпиши коэффициенты квадратного уравнения из пункта 1.1.2 и запиши выражение для дискриминанта в терминах .
2. Исследуй случаи , , $D<0$ и запиши условия на $h$ через $v_0$ и $g$ в каждом случае.
3. Дай физическую интерпретацию каждого случая (два момента — подъём и спуск; касание вершины; недостижимая высота).
4. Выразите требуемое соотношение между , , из условия на знак дискриминанта.

Подумай о том мгновении движения, когда шарик перестаёт подниматься. Что особенного происходит с его скоростью в этот момент?

Воспользуйся уравнением движения из пункта 1.1.2, запиши его как квадратное уравнение относительно времени и применяй критерий вырожденности корней квадратичного уравнения (поставь соответствующее выражение равным нулю).

1. Запиши уравнение в стандартном виде квадратичного уравнения относительно .
2. Выпиши выражение дискриминанта этого квадратичного уравнения и приравняй его к нулю (условие вырожденного корня).
3. Реши полученное равенство относительно , проведя алгебраические преобразования.
4. Вырази максимальную высоту из полученной системы.

Представь, как изменяется общее сопротивление гирлянды при увеличении числа параллельно соединённых лампочек; нарисуй эквивалентную схему с сопротивлением гирлянды и поправкой проводов.

Применяй закон Ома и формулу мощности: для цепи с суммарным сопротивлением запиши выражение мощности через напряжение и сопротивления (мощность через общий ток и сопротивление гирлянды).

1. Обозначь сопротивление всей гирлянды через и запиши выражение полной цепной мощности через , , и закон Ома.
2. Подставь отношение мощностей и приведи уравнение к виду квадратного уравнения относительно .
3. Свяжи найденное с числом лампочек через (по опубликованному решению).
4. Выразите из полученной системы (т. е. найдите через корни квадратного уравнения для ).