1.1 «Два шарика на нити» Вращение шариков (материальных точек) на легкой нити по плоскости будет происходить вокруг их центра масс – точки (Рис. 01). При этом сама точка будет оставаться неподвижной относительно гладкой горизонтальной плоскости, т.к. нет горизонтальных сил, способных «сдвинуть» систему с места (силы натяжения нитей и внутренние, их сумма равна нулю).

Таким образом, траектории шариков будут представлять собой горизонтальные окружности радиусами и с центром в точке . Радиусы траекторий шариков найдем из традиционной системы уравнений для центра масс двух материальных точек (см. Рис. 01)

Из (1) находим искомые расстояния до центра масс (оси вращения системы)

Поскольку трения в системе нет, то угловая скорость вращения шариков вокруг точки будет по инерции оставаться постоянной .

Из второго закона Ньютона с учетом (2) для движения первого шарика в горизонтальной плоскости найдем

Аналогично для второго шарика

Как следует из (3) и (4), силы натяжения нитей в такой системе (нить легкая) одинаковы и равны

где – т.н. «приведенная масса», вспомогательная величина с размерностью массы, часто возникающая при описании системы двух тел. Так из (5) следует, что сила натяжения, действующая на каждый из шариков, равна силе натяжения при движении тела с приведенной массой на нити длиной с той же угловой скоростью .

1.2 «Три шарика на нити» При добавлении третьего шарика на середину нити физика процесса не изменится – центр масс трех шариков (Рис. 02) по-прежнему будет неподвижным при вращении системы на горизонтальной плоскости. Соответственно, через точку будет проходить вертикальная ось вращения всей системы с постоянной угловой скоростью .

Однако теперь модули и сил натяжения легких нитей, связывающих грузы, будут различными, поскольку шарик имеет массу, и для его ускоренного движения нужна ненулевая разность сил.

Пусть расстояние от шарика с массой до центра масс равно (Рис. 02). Второй закон Ньютона для движения каждого из шариков в горизонтальной плоскости примет вид



Разделив (6) на (7), придем к равенству

из которого найдем

Подставляя (10) в (6), найдем угловую скорость вращения шариков

а подставляя (10) в (8), найдем массу третьего шарика

1.3 «Космическое вращение» Для решения этого пункта достаточно догадаться, что роль третьего шарика массой здесь играет трос, центр масс которого находится на половине длины , т.е. в той же точке где находился третий шарик (это важно!).

Следовательно, можно просто аккуратно воспользоваться формулами (11) и (12) с учетом условия малости разности сил натяжения концов троса (вдоль самого троса эта сила меняется, но уравнения записываются для движения центра масс тела!).

Будем считать, что второй отсек массивнее первого , тогда понятно, что , а .

Соответственно, масса троса, соединяющего отсеки космической станции, будет равна

а угловая скорость вращения станции

где — приведенная масса отсеков станции (без массы троса!).

Обратите внимание, что результат (14) напрямую следует из (5), поскольку масса троса гораздо меньше массы каждого из отсеков по отдельности.

1.1 «Два шарика на нити» Вращение шариков (материальных точек) на легкой нити по плоскости будет происходить вокруг их центра масс – точки (Рис. 01). При этом сама точка будет оставаться неподвижной относительно гладкой горизонтальной плоскости, т.к. нет горизонтальных сил, способных «сдвинуть» систему с места (силы натяжения нитей и внутренние, их сумма равна нулю).

Таким образом, траектории шариков будут представлять собой горизонтальные окружности радиусами и с центром в точке . Радиусы траекторий шариков найдем из традиционной системы уравнений для центра масс двух материальных точек (см. Рис. 01)

Из (1) находим искомые расстояния до центра масс (оси вращения системы)

Поскольку трения в системе нет, то угловая скорость вращения шариков вокруг точки будет по инерции оставаться постоянной .

Из второго закона Ньютона с учетом (2) для движения первого шарика в горизонтальной плоскости найдем

Аналогично для второго шарика

Как следует из (3) и (4), силы натяжения нитей в такой системе (нить легкая) одинаковы и равны

где – т.н. «приведенная масса», вспомогательная величина с размерностью массы, часто возникающая при описании системы двух тел. Так из (5) следует, что сила натяжения, действующая на каждый из шариков, равна силе натяжения при движении тела с приведенной массой на нити длиной с той же угловой скоростью .

1.2 «Три шарика на нити» При добавлении третьего шарика на середину нити физика процесса не изменится – центр масс трех шариков (Рис. 02) по-прежнему будет неподвижным при вращении системы на горизонтальной плоскости. Соответственно, через точку будет проходить вертикальная ось вращения всей системы с постоянной угловой скоростью .

Однако теперь модули и сил натяжения легких нитей, связывающих грузы, будут различными, поскольку шарик имеет массу, и для его ускоренного движения нужна ненулевая разность сил.

Пусть расстояние от шарика с массой до центра масс равно (Рис. 02). Второй закон Ньютона для движения каждого из шариков в горизонтальной плоскости примет вид



Разделив (6) на (7), придем к равенству

из которого найдем

Подставляя (10) в (6), найдем угловую скорость вращения шариков

а подставляя (10) в (8), найдем массу третьего шарика

1.3 «Космическое вращение» Для решения этого пункта достаточно догадаться, что роль третьего шарика массой здесь играет трос, центр масс которого находится на половине длины , т.е. в той же точке где находился третий шарик (это важно!).

Следовательно, можно просто аккуратно воспользоваться формулами (11) и (12) с учетом условия малости разности сил натяжения концов троса (вдоль самого троса эта сила меняется, но уравнения записываются для движения центра масс тела!).

Будем считать, что второй отсек массивнее первого , тогда понятно, что , а .

Соответственно, масса троса, соединяющего отсеки космической станции, будет равна

а угловая скорость вращения станции

где — приведенная масса отсеков станции (без массы троса!).

Обратите внимание, что результат (14) напрямую следует из (5), поскольку масса троса гораздо меньше массы каждого из отсеков по отдельности.