Сферический баллон — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2011 11 класс № 2

Часть 1. Деформация баллона.

Выделим на поверхности оболочки малую круглую площадку радиуса

, видимую из центра сферической оболочки под малым углом

. Очевидно, что

. Сила давления газа на эту площадку равна

(здесь

- площадь выделенной площадки;

- разность давлений газов внутри и снаружи баллона) и направлена радиально от центра оболочки. Эта сила уравновешивается силами упругости, возникающими в оболочке при ее деформации. Эти силы действуют по нормали к торцевому сечению выделенного участка, то есть по касательной к его поверхности. Сила упругости, действующая на малый элемент сечения

, равна

у п р

где

- относительная деформация оболочки, одинаковая во всех ее точках.

Для вычисления векторной суммы всех сил упругости необходимо учесть, что они направлены под углом

к радиальному направлению, следовательно, суммарная сила упругости будет направлена к центру сферы. Суммируя проекции сил упругости на радиальное направление, получим

у п р у п р

где

- площадь торцевой поверхности выделенного элемента. Таким образом, с учетом выражения для относительной деформации, выражение для суммарной силы упругости приобретает вид

у п р

Приравнивая эту силу к силе давления (1), получим уравнение

Это уравнение может быть решено точно. Однако следует надеяться, что его деформация мала, поэтому можно решать приближенным, но более простым способом. Для этого еще раз перепишем уравнение в виде

И оценим входящий в него безразмерный параметр (которому можно приписать даже определенный физический смысл):

Этот параметр действительно много меньше единицы, поэтому уравнение (6) имеет решение
$мм$
Отметим, что погрешность решения имеет порядок . Решать с такой точностью не позволяют заданные точности исходных данных.

1.2

1.2 Баллон разорвется, если механическое напряжение его стенок превысит предел прочности $пр$ . На пределе прочности сила результирующая сила упругости, действующая на выделенную площадку (как п.1.1) определяется формулой
$у п р п р п р$
Приравнивая ее к силе давления газа (1), получим уравнения для определения избыточного давления, решение которого дает требуемый результат
$п р п р п р Па$
Следовательно, максимальное давление в баллоне на одну атмосферу больше: $Па$ .

Массу газа в баллоне определяем из уравнения Менделеева-Клапейрона
$кг$

2.2

2.2 Заполнение баллона газом изменяет частоту радиальных колебаний по двум причинам: первое – изменяется радиус баллона; второе – на стенки баллона действует дополнительная изменяющаяся сила давления газа¹. Чтобы учесть оба этих фактора представим изменение радиуса баллона в виде двух слагаемых: - изменение радиуса баллона под действием давления газа в состоянии равновесия и определяемое формулой (8); - еще более малое отклонение от равновесного значения, возникающее в ходе колебаний.

Итак, уравнение второго закона Ньютона для выделенного элемента оболочки в данном случае приобретает вид

Здесь - изменяющееся давление газа в баллоне. Его зависимость от радиуса баллона определяется уравнением адиабатного процесса

Подставим это выражение в уравнение (16) и после сокращений получим

Прежде всего, в этом уравнении необходимо провести разложения по «самой величине» , оставляя только величины первого порядка. Приведем эти выкладки подробно

¹ [^1]

Первое слагаемое в этом уравнении определяет условие равновесия

Заметим, что это уравнение было решено ранее – равновесное значение увеличения радиуса баллона дается формулой (8). Коэффициент при втором равен квадрату круговой частоты колебаний баллона. Преобразуем его, оставляя только величины первого порядка малости теперь по

Здесь введенный и рассчитанный ранее параметр. Учитывая, что относительная деформация баллона в состоянии равновесия также равна в выражении (7) можно пренебречь малыми величинами второго порядка:

Таким образом, частота колебаний и ее относительное изменение оказываются равными
$т о е с т ь в с е г о$

3.1

3.1 На малую площадку на поверхности внешней сферы со стороны остальных зарядов сферы действует сила

где - поверхностная плотность зарядов на сфере, - напряженность электрического поля, создаваемого всеми зарядами сферы, кроме тех, которые находятся на выделенной площадке.
Для определения напряженности поля воспользуемся следующими рассуждениями. Суммарное поле с внешней стороны площадки равно (поле равномерно заряженной сферы)

и может быть представлено в виде двух слагаемых - напряженность поля, создаваемого зарядами на выделенной площадке). С внутренне стороны

под площадкой эти векторы направлены противоположно и их сума равна нулю (так как поле внутри проводника отсутствует). Откуда следует. что искомая напряженность в два раза меньше суммарной напряженности поля у поверхности сферы

Записанные выражения позволяют рассчитать давление электрического поля на поверхность сферы

Далее можно воспользоваться уравнением (10), заменив в нем давление газа на найденное давление электрического поля:

$пр$

Теперь без труда находим максимально возможный заряд сферы

$пр пр К л$

4.1

4.1 Энергия гамма-кванта рассчитывается по формуле

$Э в$

4.2

4.2 Энергия кванта значительно превышает работу выхода, поэтому последняя может быть опущена в уравнении Эйнштейна для фотоэффекта:

$кр$

Из этого уравнения определяем максимальный заряд оболочки

и давление электрического поля на оболочку.

Наконец, воспользуемся полученной ранее формулой для расчета относительного увеличения радиуса шара (8):

Таким образом, рассчитанное увеличение радиуса шара меньше размера атома, поэтому в принципе не наблюдаемо.

Примечания

1. Строго говоря, при расчете колебаний стенок необходимо учитывать распространение упругих волн в газе внутри баллона (звуковые волны). Однако, мы упростим ситуацию и будем считать, что давление во всем объеме изменяется мгновенно во всех точках (так, называемое квазистационарное приближение). ↩

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи