ЦУП — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2012 10 класс № 1

1.1

1.1 Пусть $З$ – угловая скорость вращения Земли вокруг оси, а – угловая скорость вращения спутника. И пусть в начальный момент времени спутник пересекает экватор. За время одного оборота спутника ( $З$ ) Земля повернется на угол $З$ .

Если движение спутника и Земли происходит в одном направлении, то следующее пересечение экватора произойдет на:
$З З$
восточнее (на рисунке — правее) предыдущего.

Если же спутник и Земля вращаются в разных направлениях, то за один оборот спутник сместится относительно Земли на:
$З З$
в западном (левом) направлении. Т.е. в любом случае больше, чем на .

Согласно рисунку 1 условия задачи, спутник смещается на 14 клеток (), т. е. движется по направлению вращения Земли.

1.2

1.2 Уравнение (1) позволяет найти угловую скорость вращения спутника:
$З$
Таким образом:
$З$
$С З ч$
Радиус орбиты определим, записав Второй закон Ньютона:

где - масса Земли,

- масса спутника.

Подставив и $З$ , получим:
$З$
Тогда радиус орбиты:
$З м$
Линейная скорость движения спутника:
$м с$

Это и есть расстояние между двумя последовательными точками пересечения экватора. При уменьшении радиуса орбиты угловая скорость увеличивается. Следовательно, увеличивается и искомое расстояние.

Максимальное значение угловой скорости спутника достигается на орбите, проходящей в непосредственной близости к поверхности Земли. Записав Второй закон Ньютона:

получим:

Тогда максимальное расстояние между двумя точками последовательного пересечения экватора:

$рад$

2.1

2.1 Т.к. спутники одновременно пересекают линию экватора, то периоды их обращения по орбитам одинаковы, а значит, равны и радиусы орбит. Изображенные на рисунке 2 условия задачи траектории соответствуют спутникам, двигающимся по одной орбите в разных направлениях.

Если спутник движется по направлению вращения Земли («сжатая» траектория), то расстояние, которое проходит спутник относительно Земли за один оборот, равно (9 клеток). Согласно (1), угловая скорость вращения равна:

Аналогично можно рассуждать, рассматривая движение второго спутника. Для него выражение (1) будет иметь вид:

За один оборот этот спутник смещается относительно Земли на 27 клеток, т. е. на . Подставляя это значение в (15), получим тот же ответ (14).

Таким образом, период обращения по орбите равен:

Радиус орбит спутников равен:

$м$

2.2

2.2 Пусть спутники встретились в точке (рис. 1). Между ними будет возможна прямая связь, пока они не достигнут точек и соответственно. В течение времени, необходимом для перемещения в точки и , связь будет отсутствовать.