Хорошо, что не экспериментальная задача! — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2013 11 класс № 2

Часть 1. Лобовое столкновение автомобиля с упругой преградой.

Так как сила, действующая на автомобиль, пропорциональна смещению автомобиля, то она может быть описана функцией (закон Гука)

Коэффициент упругости легко может быть найден из графика
$Н м Н м$

Скорость автомобиля перед столкновением находится из закона сохранения энергии:

м с

Закон движения автомобиля находится из уравнения второго закона Ньютона

которое является уравнением гармонических колебаний. Будем считать, что в момент начала столкновения

, координата автомобиля равна

, а начальная скорость нами найдена. С учетом начальных условий, закон движения имеет вид

где круговая частота колебаний равна

с

Время торможения равно четверти периода колебаний

с м с

Зависимость скорости и ускорения автомобиля от времени имеют вид:

Максимальное ускорение автомобиль испытывает в последний момент торможения, оно равно

м с

Следовательно, максимальная перегрузка автомобиля равна

Часть 2. Манекен пристегнут к сидению ремнем безопасности.

Сразу после столкновения манекен продолжает двигаться свободно, перемещаясь на расстояние $см$ относительно автомобиля. Для определения момента времени, когда сработает ремень безопасности можно найти из уравнения

Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому следует воспользоваться приближенными методами. Предположим, что . В этом случае можно воспользоваться приближенной формулой

В этом случае решение уравнения принимает значение
$с мс$
Здесь учтено, что . При этом . Так, что предположение о малости этой величины оправдано.

Примечание. Расчет по формуле (13) дает значение 0,0207. Решение методом Ньютона дает значение 0,2085, что подтверждает правомерность использованного приближенного метода.

После того, как ремень натянулся, на манекен действует постоянная сила . В этот промежуток времени перегрузка манекена равна

Зависимости перегрузок автомобиля и манекена от времени показаны на рисунке.

Часть 3. Манекен не пристегнут.

Чтобы определить время, когда манекен ударится о рулевую колонку, необходимо решить уравнение, аналогичное уравнению (11)

В данном случае, величину нельзя считать малой. Можно провести графический анализ этого уравнения (см. рис.), но поступим проще: Предположим, что столкновение произошло после остановки автомобиля. В этом случае координата автомобиля оказывается равной . Следовательно, время движения в этом случае

равно
$мс$
Что больше, чем время столкновения. Значит, действительно, удар о рулевую колонку произойдет после остановки автомобиля.
Далее манекен ударяется о рулевую колонку. Рассчитаем скорость манекена после того, как рулевая колонка разрушится. Для этого запишем выражение для изменения кинетической энергии манекена, которое равно работе силы сопротивления со стороны рулевой колонки:

Из этого уравнения находим
$м с$
Это столкновение будет продолжаться в течении промежутка времени
$мс$
То есть, это столкновение закончится в момент времени
$мс$
Перегрузка манекена в этом промежутке времени равна

Далее до столкновения со стеклом манекен будет двигаться свободно со скоростью , пройдя расстояние . Столкновение со стеклом произойдет в момент времени
$мс$
Если бы не рулевая колонка, удар манекена о лобовое стекло произошел бы в момент времени
$мс$
Наконец, осталось рассмотреть удар о стекло. Для оценок приме, что силы, действующая со стороны стекла примерно постоянна. Тогда ускорение, с которым движется манекен в этом приближении можно найти по формуле:
$м с$
Следовательно, перегрузка во время этого удара равна

Время этого удара $мс$ Поэтому манекен остановится в момент времени $мс$
Не пристегнутый манекен столкнется со стеклом в момент времени , со скоростью его перегрузка в момент удара будет равна

Либо равносильное кинематическое соотношение.

Удар будет продолжаться в течение промежутка
$м с$

Полученные данные позволяют построить графики зависимости перегрузки от времени в ходе столкновения.

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи