Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.С развитием технологий появляются все новые материалы с удивительными свойствами. Два таких метаматериала рассматриваются в данной задаче.
1.1.1 Плоский конденсатор состоит из двух металлических параллельных пластин площади
Нарисуй конденсатор и подумай, как распределено диэлектрическое заполнение между пластинами. Что можно сказать о напряжении на каждом из слоев, если считать их отдельными элементами?
Рассматривай систему как два плоских конденсатора, соединённых последовательно; для каждого можно применить выражение ёмкости плоского конденсатора
- Разбей зазор на два конденсатора толщиной
с проницаемостями и . - Запиши обратные ёмкости этих двух участков и сложи их как для последовательного соединения:
. - Подставь выражения для
и в сумму обратных ёмкостей. - Вырази
из полученной суммы.
1.1.1 Описанную систему можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно. Используя формулу для электроемкости плоского конденсатора, запишем емкость составного конденсатора
1.1.2 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение 
Подумай, какое поле создают заряды на внешних пластинах и как диэлектрики меняют поле внутри каждого слоя. Нарисуй распределение полей через слои.
Используй соотношение между поверхностной плотностью заряда на пластине и напряженностью поля в вакууме
- Обозначь поле, создаваемое только зарядами на пластинах, как
и запиши . - Запиши поля в слоях:
, , и вырази суммарную разность потенциалов через эти полные по толщине слоёв. - Найди
из уравнения для , подставив толщины слоёв . - Найди поверхностную плотность поляризационного заряда на границе, используя разность полей по обе стороны: вырази
через , и .
1.1.2 При помещении диэлектрика во внешнее поле на нем возникаю поляризационные заряды, которые изменяют поле внутри диэлектрика. Если силовые линии поля перпендикулярны границам диэлектрика, то напряженность поля внутри диэлектрика оказывается в
Обозначим напряженность поля, создаваемого только зарядами на пластинах
Тогда напряженности полей внутри диэлектриков будут равны
Откуда следует, что
А поверхностная плотность зарядов на пластинах
Впрочем, эта формула может быть получена непосредственно из формулы (1), как
Поверхностная плотность поляризационных зарядов на границе диэлектриков
Способ 1. Представим поля внутри диэлектриков как суперпозицию поля
Из этих формул следует
Подставляя выражение (4), окончательно получим
Способ 2. Поле внутри диэлектрика
Откуда находим
Поверхностная плотность зарядов на втором диэлектрике описывается аналогичной формулой. Суммарная плотность заряда на границе равна
Способ 3. Используем теорему Гаусса для поверхности
изображенной на рисунке.
приводит, как это не странно, к тому же результату (10).
1.2 Плоский конденсатор состоит из двух металлических параллельных пластин площади
1.2 Решение этой части задачи, в принципе, аналогично решению предыдущей части.
1.2.1 Выразите параметры этой зависимости через значения
1.2.1 Сначала выразим параметры зависимости диэлектрической
проницаемости от координаты
через граничные значения. Для этого запишем и решим систему
уравнений
1.2.2 Найдите емкость этого конденсатора.
1.2.2 Для расчета емкости конденсатора представим его как совокупность
последовательно соединенных конденсаторов малой
толщины 
рассчитывается по формуле
При малых
площади под графиком зависимости
эта зависимость линейна, то в результате
суммирования получим
Тогда емкость конденсатора оказывается равной
Для расчета объемной плотности поляризационных зарядов запишем выражение для
напряженности электрического поля
где
Разность потенциалов между пластинами в данном случае определяется формулой
Эту сумму мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем
Таким образом, зависимость напряженности от координаты имеет вид
Для расчета зависимости плотности заряда от координаты воспользуемся самым коротким способом, основанном на теореме Гаусса (хотя приемлем и любой из ранее рассмотренных). Так для тонкого цилиндра толщиной 
,
где
Отметим, что объемная плотность поляризационных зарядов постоянна по объему диэлектрика.
1.2.3 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение
1.2.1 Запишите формулу, описывающую изменение удельного сопротивления вещества.
1.2.1 Сначала выразим параметры зависимости диэлектрической
проницаемости от координаты
через граничные значения. Для этого запишем и решим систему
уравнений
1.2.2 Найдите сопротивление этого резистора.
1.2.2 Для расчета емкости конденсатора представим его как совокупность
последовательно соединенных конденсаторов малой
толщины
рассчитывается по формуле
При малых
площади под графиком зависимости
эта зависимость линейна, то в результате
суммирования получим
Тогда емкость конденсатора оказывается равной
Для расчета объемной плотности поляризационных зарядов запишем выражение для
напряженности электрического поля
где
Разность потенциалов между пластинами в данном случае определяется формулой
Эту сумму мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем
Таким образом, зависимость напряженности от координаты имеет вид
Для расчета зависимости плотности заряда от координаты воспользуемся самым коротким способом, основанном на теореме Гаусса (хотя приемлем и любой из ранее рассмотренных). Так для тонкого цилиндра толщиной
,
где
Отметим, что объемная плотность поляризационных зарядов постоянна по объему диэлектрика.
1.2.3 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение
2.1.1 Плоский резистор состоит из двух металлических параллельных пластин площади
Нарисуй резистор с двумя слоями и подумай, как протекает ток через каждый слой. Как связаны сопротивления слоёв при последовательном прохождении тока?
Рассматривай слои как два резистора, соединённых последовательно; для плоского слоя сопротивление выражается как
- Разбей резистор на два слоя толщиной
с удельными сопротивлениями и . - Запиши их сопротивления
и . - Сложи:
. - Вырази
через .
2.1.1 Сопротивление резистора найдем как сумму двух последовательно соединенных резисторов
2.1.2 На внешние металлические пластины подают постоянное напряжение 
Подумай, какие заряды собираются на границе между двумя проводящими слоями при установившемся постоянном токе, если электронное течение непрерывно, но поля могут отличаться в слоях.
Используй эквивалентность полей и токов: при заданном внешнем напряжении ток одинаков через оба слоя, а плотность поверхностного заряда на границе связана с разностью электрических полей по обе стороны через теорему Гаусса. Поляризационными зарядами пренебрегай.
- Найди токовую плотность
через резистор из и постоянства по слоям; здесь . - Вырази поля
и через и соответствующие проводимости: . - Применяй теорему Гаусса к малой площадке вокруг границы: запиши разность полей через поверхность и свяжи её с поверхностной плотностью заряда
. - Вырази
через , , , а затем через внешнее напряжение через найденное суммарное сопротивление.
2.1.2 Поясним причину возникновения заряда в этом случае. При включении внешнего поля плотности токов будут различным, что приведет к накоплению зарядов на границе раздела. Эти заряды будут изменять плотности токов в разных материалах до тех пор, пока плотности токов не сравняются. Итак. в установившемся режиме будет выполняться условие
Здесь
Из уравнений (23)-(24) найдем
Из формул (24) и определения напряжения следует, что величина
Поэтому поверхностная плотность зарядов на границе равна
2.2.1 Плоский резистор состоит из двух металлических параллельных пластин площади
Представь, что удельное сопротивление линейно меняется от левой к правой пластине; как будет меняться локальное сопротивление тонкого слоя?
Запиши линейную зависимость удельного сопротивления вида
- Запиши общую линейную форму
. - Применяй граничные условия при
и для составления двух уравнений на и . - Реши систему и вырази
и через .
Примечания
- 2. Чтобы не путать с удельным электрическим сопротивлением, обозначим плотность заряда γ . ↩
Похожие задачи
Слоистые резисторы
Современные нанотехнологии позволяют создавать синтетические материалы с заданными физическими свойствами. Рассмотрим слоистый резистор в форме …
У Р Б П ≈5/5 Т4
Задача 10-4
В генераторе Ван-дер-Граафа лента (см. рис) толщиной
Шарики в трубе
На дне узкого вертикального цилиндрического стеклянного сосуда высотой
Дырявая разминка
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.
Задача 1.1 В сплошном однородно заряженном (плотность заряда …
У Р Б П ≈5/5 Т2
На грани...
Удельное сопротивление металлов в жидком состоянии значительно больше, чем в твердом. Например, жидкая медь или жидкий свинец приблизительно в два …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Электронный газ и неоднородный проводник
В классической электронной теории металлов предполагается, что движение электронов подчиняется законам классической теории. В этой теории электроны …
У Р Б П ≈5/5