1.1.1 Описанную систему можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно. Используя формулу для электроемкости плоского конденсатора, запишем емкость составного конденсатора

1.1.2 При помещении диэлектрика во внешнее поле на нем возникаю поляризационные заряды, которые изменяют поле внутри диэлектрика. Если силовые линии поля перпендикулярны границам диэлектрика, то напряженность поля внутри диэлектрика оказывается в раз меньше.

Обозначим напряженность поля, создаваемого только зарядами на пластинах , модуль которой связан с поверхностной плотностью зарядов на пластинах соотношением

Тогда напряженности полей внутри диэлектриков будут равны , . Разность потенциалов между пластинами (напряжение) может быть выражена через напряженности полей следующим образом

Откуда следует, что

А поверхностная плотность зарядов на пластинах

Впрочем, эта формула может быть получена непосредственно из формулы (1), как .

Поверхностная плотность поляризационных зарядов на границе диэлектриков может быть найдена различными способами.

Способ 1. Представим поля внутри диэлектриков как суперпозицию поля , создаваемого зарядами и поля , создаваемого всеми остальными зарядами (на пластинах и поляризационных зарядов на границах диэлектриков, примыкающих к пластинам). В этом случае напряженности полей внутри диэлектриков описываются формулами

Из этих формул следует

Подставляя выражение (4), окончательно получим

Способ 2. Поле внутри диэлектрика может быть представлено как сумма внешнего поля и поля , создаваемого поляризационными зарядами:

Откуда находим

Поверхностная плотность зарядов на втором диэлектрике описывается аналогичной формулой. Суммарная плотность заряда на границе равна , что совпадает с формулой (7).

Способ 3. Используем теорему Гаусса для поверхности
изображенной на рисунке.

Из этой формулы следует , что
приводит, как это не странно, к тому же результату (10).

1.2 Решение этой части задачи, в принципе, аналогично решению предыдущей части.

1.2.1 Сначала выразим параметры зависимости диэлектрической
проницаемости от координаты

через граничные значения. Для этого запишем и решим систему
уравнений

1.2.2 Для расчета емкости конденсатора представим его как совокупность
последовательно соединенных конденсаторов малой
толщины , емкости которых равны

При последовательном соединении суммарная емкость
рассчитывается по формуле

При малых сумма в выражении (14) равна
площади под графиком зависимости . Так как
эта зависимость линейна, то в результате
суммирования получим


Тогда емкость конденсатора оказывается равной

Для расчета объемной плотности поляризационных зарядов запишем выражение для
напряженности электрического поля

где - как и ранее напряженность поля создаваемого только зарядами на пластинах.
Разность потенциалов между пластинами в данном случае определяется формулой

Эту сумму мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем


Таким образом, зависимость напряженности от координаты имеет вид

Для расчета зависимости плотности заряда от координаты воспользуемся самым коротким способом, основанном на теореме Гаусса (хотя приемлем и любой из ранее рассмотренных). Так для тонкого цилиндра толщиной , основания которого параллельны пластинам, имеем:

Из этой формулы следует, что

,
где - коэффициент, найденный ранее (формула (12)). С учетом этой формулы получим

Отметим, что объемная плотность поляризационных зарядов постоянна по объему диэлектрика.

1.2.1 Сначала выразим параметры зависимости диэлектрической
проницаемости от координаты

через граничные значения. Для этого запишем и решим систему
уравнений

1.2.2 Для расчета емкости конденсатора представим его как совокупность
последовательно соединенных конденсаторов малой
толщины , емкости которых равны

При последовательном соединении суммарная емкость
рассчитывается по формуле

При малых сумма в выражении (14) равна
площади под графиком зависимости . Так как
эта зависимость линейна, то в результате
суммирования получим


Тогда емкость конденсатора оказывается равной

Для расчета объемной плотности поляризационных зарядов запишем выражение для
напряженности электрического поля

где - как и ранее напряженность поля создаваемого только зарядами на пластинах.
Разность потенциалов между пластинами в данном случае определяется формулой

Эту сумму мы уже вычисляли, поэтому сразу запишем


Таким образом, зависимость напряженности от координаты имеет вид

Для расчета зависимости плотности заряда от координаты воспользуемся самым коротким способом, основанном на теореме Гаусса (хотя приемлем и любой из ранее рассмотренных). Так для тонкого цилиндра толщиной , основания которого параллельны пластинам, имеем:

Из этой формулы следует, что

,
где - коэффициент, найденный ранее (формула (12)). С учетом этой формулы получим

Отметим, что объемная плотность поляризационных зарядов постоянна по объему диэлектрика.

2.1.1 Сопротивление резистора найдем как сумму двух последовательно соединенных резисторов

2.1.2 Поясним причину возникновения заряда в этом случае. При включении внешнего поля плотности токов будут различным, что приведет к накоплению зарядов на границе раздела. Эти заряды будут изменять плотности токов в разных материалах до тех пор, пока плотности токов не сравняются. Итак. в установившемся режиме будет выполняться условие

Как уже было отмечено, различия в напряженностях полей обусловлены полем, создаваемым зарядами на границе, поэтому

Здесь - напряженность поля, создаваемого всеми зарядами, кроме зарядов на границе.

Из уравнений (23)-(24) найдем

Из формул (24) и определения напряжения следует, что величина может быть легко найдена

Поэтому поверхностная плотность зарядов на границе равна