2.1 При опускании пробирки на нее дейую силы тяжести и сила давления жидкости на дно пробирки . Как было показано ранее, в подобной ситуации можно пренебречь силой вязкого трения. Здесь ради укорочения формулой мы обозначили - разность между давлением жидкости на глубине и атмосферным давлением. Поэтому уравнение движения пробирки в квазистационарном приближении имеет вид

Отметим, что для величины нельзя использовать формулу для гидростатического давления, так жидкость в зазоре движется. Поэтому для нахождения этого давления запишем уравнение второго закона Ньютона для жидкости в зазоре (опять в квазистационарном приближении):

Смысл которого очевиден: разность сил давления уравновешивается силами тяжести и вязкого трения, действующими на воду в зазоре. Для силы вязкого трения справедлива полученная ранее формула (3). С ее учетом, получим

Расход воды, протекающей через зазор можно выразить через скорость движения пробирки (вся жидкость, вытесненная пробиркой, должна протечь через зазор): . Подставляя эти выражения в уравнение (7) получим

Движение пробирки прекратиться, когда скорость станет равной нулю, соответствующая максимальная глубина погружения определяется формулой:

Зависимость скорости от координаты можно выразить из уравнения (10)

Обозначим коэффициент в этой формуле (он имеет размерность скорости) , тогда зависимость (12) приобретает вид

График этой функции показан на рисунке.
Для оценки времени движения в указанном диапазоне можно построить график обратной зависимости (см. рис.), тогда площадь под этим графиком численно равна времени движения, т.к. . Для оценки площади плавную кривую можно заменить отрезком

прямой. На построенном графике в относительных единицах эта площадь равна . Переход к обычным единицам приводит к результату

Замечания.

1. Формула (11) может быть получена непосредственно из условия равновесия в пробирки (когда справедливы законы статики) – сила тяжести проверки уравновешивается силой Архимеда.
2. Точное значение времени движения может быть вычислено путем строгого интегрирования. Рассчитанное значение площади под кривой равно . Иными словами допущенная погрешность составляет величину порядка .
3. Формально в рассмотренном квазистационарном приближении пробирка стартует с бесконечно большой скоростью. Это связано с тем, что в начальном положении пробирки отсутствует сила вязкого трения. Однако на конечный результат, это обстоятельство не играет существенной роли.

2.2 Описание движения пробирки в перевернутом положении проводится аналогично проведенному в п. 2.2.
Уравнение движения пробирки имеет вид

здесь - разность между атмосферным давлением и давлением воды на высоте (которое меньше атмосферного).
Закон движение воды в зазоре

Для силы вязкого трения, по-прежнему, справедлива формула (3), поэтому разность давлений в этом случае оказывается равным

А уравнение движения пробирки

Из этого уравнения следует, что минимальная высота подъема пробирки, при которой начнется ее движение вверх, равна

что совпадает с максимальной глубиной погружения, полученной ранее. Зависимость скорости подъема имеет вид

Отметим, что в данном случае формула имеет смысл при .

Графики этой зависимости и обратной ей показаны на рисунках.
Оценка времени движения в указанном диапазоне (проведенная по линейной аппроксимации зависимости ) равна