Разминка — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2017 11 класс № 1

Для расчета периодов колебаний можно использовать как динамический, так и энергетический подход. Воспользуемся энергетическим подходом. В рамках этого метода необходимо ввести некоторую переменную величину . Далее необходимо найти кинетическую энергию системы, представив ее в виде

Где - первая производная от координаты по времени, - постоянная величина.
Найти потенциальную энергию, как функцию координаты , Полагая смещение от положения равновесия малым, записать приближенное выражение для изменения потенциальной энергии, оставляя только квадратичные слагаемые, т.е представив это изменение в виде

Где - также постоянная величина. Затем записать уравнение закона сохранения энергии:

которое является уравнением гармонических колебаний с периодом

1.1.1

1.1.1 В положении равновесия ось маятника совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля. В качестве координаты будем рассматривать угол отклонения маятника от этого направления . Производная от этого угла есть угловая скорость вращения .

Кинетическая энергия маятника легко рассчитывается по формулам

Потенциальная энергия каждого шарика выражается через разность потенциалов в положении равновесия и в отклоненном положении. Поэтому

Используя формулу (4) и полученные выражения для энергий находим период колебаний

1.1.2

1.1.2 Выражение для кинетической энергии (5) справедливо и в данном случае.
Рассмотрим потенциальную энергию взаимодействия зарядов на маятнике с одним из неподвижных зарядов. Энергия взаимодействия шариков выражается формулой (см. рис.)

Расстояния между шариками можно выразить из теоремы косинусов:

В формулу для потенциальной энергии входят величины обратные расстояниям, поэтому сразу проведем их разложение, учитывая малость угла :

Запишем эти выражения отдельно:

Теперь подставим их в формулу для кинетической энергии (не зависящие от слагаемые опускаем):

Снова используем формулу (5) для периода колебаний

1.1.3

1.1.3 Так как выражение для кинетической энергии остается неизменным, то необходимо только просуммировать выражения для энергия потенциальных (фактически сложить два коэффициента в формуле (5)). Это приведет к тому, что для периодов колебаний будет выполняться соотношение:

Задача 1.2

1.2.1

1.2.1 В данном случае будет наблюдаться дифракция на решетке: возникать равноотстоящие пятна.
Период данной решетки равен
$мкм м$
По формуле дифракционной решетки определим углы дифракции:

Пятна на экране, соответствующие данным углам дифракции, будут отстоять от центрального максимума на расстояниях

В таблице 1 рассчитаны эти углы для нескольких первых максимумов.
Таблица 1.

		, мм
1	0,0275	27,5
2	0,0550	55,0
3	0,0825	82,5
4	0,1100	110,0

Как следует из проведенных расчетов, углы дифракции являются малыми, поэтому можно считать, что их тангенсы и синусы равны. В последнем столбце приведены координаты максимумов. Видно, что четвертый максимум окажется за пределами экрана.

Далее необходимо учесть, что штрихи являются изогнутыми. Поэтому пятна также будут изогнутыми и представлять собой симметричные дуги окружностей.
Схематически положение этих пятен при попадании света на разные части дуг решетки, показаны на рисунке (масштабы дуг решетки и расстояний до пятен не соблюдены). Вычислим угловой размер дуговых пятен, который совпадает с угловым размером лазерного пучка на решетке.
Этот угловой размер не сложно вычислить с помощью рисунка: