Что получится, если сложить две одинаковые гармонические волны, идущие навстречу друг другу: меняется ли их частотная или пространственная зависимость?

Используй тригонометрическое тождество для суммы косинусов, чтобы разложить сумму двух бегущих волн в произведение времени- и координатозависимых множителей.

1. Возьми суммы из предыдущего пункта.
2. Применяй тождество для суммы косинусов, чтобы выделить множитель, зависящий только от , и множитель, зависящий только от .
3. Упрость выражение, приведя его к форме стоячей волны.
4. Вырази функцию , описывающую стоячую волну.

Как связаны между собой длина волны, частота и скорость волны для периодического движения вдоль оси?

Введи частоту и используй соотношение между скоростью, длиной волны и частотой (связь через волновое число или через и ).

1. Введи циклическую (колебательную) частоту и частоту через .
2. Вспомни связь скорости волны с длиной волны и частотой: (или эквивалентно ).
3. Подставь или в нужную форму.
4. Вырази скорость распространения через и .

Какая пространственная форма колебаний струны соответствует показанному на рисунке основному изгибу с нулевыми отклонениями в концах?

Ищи модовую функцию, которая по равна нулю в концах и имеет один узел только в середине — применяй косинусную форму с соответствующим аргументом (модуляция по ) и гармоническую временную зависимость.

1. Определи поведение по : функция должна быть нечётной или чётной и равна нулю в концах.
2. Выбери минимальный ненулевой гармонический порядок, удовлетворяющий граничным условиям.
3. Прикрепи к пространственной функции гармоническую временную зависимость с частотой и амплитудой .
4. Вырази итоговую функцию данного типа колебаний.

Откуда берётся потенциальная энергия при малом поперечном изгибе натянутой струны — в изменении чего следует искать работу?

Потенциальную энергию можно представить как работу сил натяжения при удлинении струны: , и использовать приближённую формулу для длины из подсказки, чтобы получить зависимость от отклонения центра .

1. Вычисли приращение длины струны с помощью данной приближённой формулы.
2. Подставь найденное в .
3. Упрость выражение, сохранив только квадратичную по малому часть.
4. Вырази потенциальную энергию через координату центра .

Если суммарная механическая энергия струны складывается из квадратичных по скорости и по смещению членов, что это напоминает по форме?

Запиши полную энергию как сумму кинетической и потенциальной частей и используй, что это уравнение гармонических колебаний — сравни коэффициенты при и , чтобы получить выражение для .

1. Сложи найденные в пунктах 2.2 и 2.3 выражения для кинетической и потенциальной энергии.
2. Сопоставь полученную формулу с формой полной энергии гармонического осциллятора: .
3. Выпиши и из соответствующих коэффициентов.
4. Вырази круговую частоту через параметрЫ струны, используя .

Наблюдай пространственную структуру данной моды: какие расстояния по оси x повторяются между одинаковыми точками формы (узлами или антиподами)?

Свяжи пространственную характеристику моды с волновым числом и длиной волны: связано с , а скорость бегущей волны выражается через частоту и волновое число (например или эквивалентно ).

1. Найди характерную пространственную периодичность этой моды (расстояние между повторяющимися участками формы).
2. Запиши соответствующее волновое число , сравнив пространство́вую зависимость с общим видом .
3. Воспользуйся соотношением из H2 () и подставь найденный .
4. Вырази скорость из полученной системы.