«Блинчики» на воде

Условие

Республиканская олимпиада 2022 11 класс № 3

Каждый из Вас когда-либо пытался бросать камень на озёрную гладь, добиваясь отскоков. Конечно, чем больше блинчиков получится – тем лучше! Однако, данный трюк повторить не так-то уж и просто. Большинству из нас знакомы эмпирические правила: необходимо выбирать сплюснутые камни с гладкой поверхностью, бросать их как можно сильнее под малым углом к поверхности воды, при этом слегка закручивая. В данной задаче попробуем разобраться, какие параметры и как влияют на количество отскоков камня.

Часть 1. Отскок от земли

Для начала рассмотрим отражение камня от поверхности земли. Камень дискообразной формы падает плашмя на поверхность земли.

Скорость камня в начальный момент удара

направлена под углом

к горизонту. Коэффициент трения

. Удар абсолютно упругий (проекция скорости на вертикальную ось поменяет свой знак).
Действием силы тяжести за время удара в данной части можно пренебречь.

1.1. Найдите угол , а также скорость камня после удара.

Часть 2. Отскок от воды

Камень массы падает на поверхность воды со скоростью , направленной под углом к горизонту. Угол между поверхностью камня и горизонтом (см. рис.).

Точное описание соударения камня о воду требует нахождения течений, возникающих в процессе удара, путём решения уравнения Навье-Стокса. Данная задача является достаточно трудной и может быть решена лишь численными методами. Рассмотрим упрощённую модель взаимодействия камня с водой:

при ударе на камень (если он не погрузился в воду полностью) действует сила вязкого трения, которая определяется выражением

$в$

где

— плотность воды,

— модуль скорости камня,

— площадь погруженной части камня,

— безразмерные коэффициенты, имеющие одинаковый порядок величины и зависящие от углов

— единичные векторы, указанные на рисунке;

в процессе соударения скорость камня и угол меняются незначительно, а угол не меняется вовсе;
в силу последнего приближения величины и постоянны в процессе удара;
начала отсчёта Oz и Ox выберем в месте, где камень начинает соприкасаться с водой;
в силу наличия набегующих волн, обтекающих камень при ударе, будем считать, что площадь погруженной части камня линейно зависит от глубины погружения: , величину считайте известной.

2.1. Запишите уравнение движения камня в проекции на оси X и Z. Упростите данные уравнения с учётом указанных приближений.

2.2. Покажите, что в любой момент времени проекции силы сопротивления воды связаны соотношением $в в$ . Получите выражение для коэффициента .

2.3. Найдите зависимость координаты нижней точки камня от времени .

2.4. Найдите время соударения камня с водой .

Пусть масса камня кг, скорость перед ударом м/с, углы , для данных углов и формы камня см, площадь поверхности камня см (вся поверхность), коэффициенты , плотность воды кг/м. Ускорение свободного падения м/с.