1.1. При ударе на камень действуют три силы: тяжести , нормальной реакции и трения . Сила трения в данном случае является силой трения скольжения и определяется по закону Кулона-Амонтона: .
На основании второго закона Ньютона для процесса соударения можем записать следующую систему:

Учитывая упругость удара и пренебрегая импульсом силы тяжести перепишем (1) в виде

где – скорость тела после удара. Избавляясь от , получим .
Теперь не составляет труда найти модуль конечной скорости и угол :

Отметим, что при шарик отскочит вертикально () с конечной скоростью .

2.1. Проекция результирующей силы на ось Z, действующей на камень, определяется соотношением

Воспользуемся приближениями, указанными в условии задачи. Поскольку скорость камня меняется незначительно, в (4) заменим на . Для удобства введём обозначение

. Площадь поверхности камня, соприкасающаяся с водой, с учётом указанного в условии приближения, определяется уравнением

С учётом указанных замечаний перепишем (4) в виде (6):

Воспользовавшись вторым законом Ньютона, получим

Раскрыв модуль () и разделив уравнение (7) на массу камня, получим уравнение движения

Проекция результирующей силы на ось X, действующей на камень, определяется соотношением

Сделав пренебрежения, аналогичные п. 2.1 и введя обозначение , пользуясь формулой (5) получим

2.2. Сравнивая проекции сил сопротивления воды в (7) и (10), получим . Таким образом

2.3. Перепишем уравнение (8) в виде

где . Очевидно (11) – уравнение гармонических колебаний с циклической частотой , при этом положение равновесия смещено относительно . Будем искать решение уравнения (11) в виде (12):

где имеет смысл координаты положения равновесия, а – амплитуды колебаний.
Первая и вторая производные по времени от (12) имеют смысл вертикальных компонент скорости и ускорения камня соответственно:

Подставим в виде (12) в уравнение (11):

откуда .

Для нахождения амплитуды и начальной фазы колебаний воспользуемся начальными условиями: , :

откуда

Окончательно

2.4. Время соударения является корнем уравнения . Одним из корней данного уравнения является начальный момент времени , при котором фаза колебаний равна начальной фазе . Ясно, что и в момент времени косинус в выражении (14) будет принимать то же значение, что и в начальный момент. Тогда фаза колебаний в момент времени равна :

Из последнего уравнения находим выражение для времени соударения:

2.5. Для указанных в условии параметров , . Близость начальной фазе к позволяет нам утверждать, что и движение камня в воде происходит приблизительно половину периода колебаний, т.е.

Расстояние с учётом малого изменения скорости камня находится как

2.6. Проекция результирующей силы на ось X, действующей на камень, определяется соотношением (10). Подставляя сюда зависимость из (12), получим

Заметим, что для указанных параметров и , поэтому

Тогда уравнение движения камня вдоль оси X с учётом выражения для имеет вид

Для вычисления средней силы воспользуемся подсказкой в условии:

2.7. Камень может не отскочить от воды по двум причинам: в процессе соударения камень полностью опустится под воду, после чего наша модель перестаёт адекватно описывать процесс соударения. Камень при этом утонет. Вторая причина — полная потеря горизонтальной компоненты импульса в процессе удара. Запишем данные условия в виде уравнений:

Для параметров, приведенных в условии , , , . Таким образом, оба условия выполняются и камень отскакивает от воды.

Горизонтальную компоненту скорости после определяется как

Поскольку вертикальная компонента скорости не меняется по модулю, нетрудно найти конечную скорость и угол отскока :

2.8. Вычислим коэффициент из п. 2.2. и подставим в формулу (3), определяющую конечную скорость и угол отскока тела от твёрдой поверхности:

Сравнивая значения (21) и (22) можно заключить, что в данной модели вода действительно ведёт себя как твёрдое тело.