1.1 Функции и , описывающие волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси , имеют вид

где — волновое число.

1.2 Результатом сложения этих волн является волна, описываемая функцией

Эта функция описывает стоячую волну.

1.3 Скорость волны может быть представлена в виде

2.1 Функция, описывающая данный тип колебаний имеет вид

2.2 Если зависимость смещения точек струны от времени имеет вид (4), то зависимость их скоростей от времени задается функцией

Выделим на струне небольшой участок длиной , положение которого определяется координатой . Кинетическая энергия этой малой части струны равна

Кинетическая энергия всей струны рассчитывается как сумма кинетических энергий всех ее участков:

При вычислении суммы учтено, что сумма длин всех участков равна длине струны . Второе слагаемое обращается в ноль, так как в рассматриваемом интервале косинус принимает как положительные, так и отрицательные значения.

2.3 Так как сила изменением силы натяжения струны рекомендовано пренебречь, то потенциальная энергия изогнутой струны равна работе по растяжению струны:

Используя формулу для длины струны, приведенную в «Математической подсказке», получаем выражение для потенциальной энергии струны

2.4 Запишем уравнения закона сохранения механической энергии для всей струны

Это уравнение есть уравнение гармонических колебаний с частотой

2.5 Рассматриваемое колебание можно рассматривать как стоячую волну, описываемую функцией (4). Сравнивая эту функцию с функцией (2), находим, что данное колебание есть сумма двух бегущих волн с длиной волны

Поэтому можно использовать формулу (3) для скорости бегущей волны, в результате чего получим