Нарисуй цилиндрическую трубу и подумай, какие величины описывают объём и скорость движения жидкости через сечение.

Воспользуйся определением расхода жидкости и объёмными характеристиками трубы: связывают расход, площадь поперечного сечения и среднюю скорость ; для времени пользуйся отношением длины и скорости; для давления — формулой Пуазейля в общем виде.

1. 1. Запиши площадь поперечного сечения через радиус .
2. 1. Вырази связь между расходом , площадью и средней скоростью .
3. 1. Найди время прохождения длины через отношение .
4. 1. Подставь в формулу Пуазейля параметры , и и выразите искомые величины из полученных соотношений.

Подумай, как связаны объём жидкости, прошедший через сечение за единицу времени, и средняя скорость в сечении.

Применяй определение расхода: расход равен объёму, проходящему через поперечное сечение в единицу времени, то есть .

1. 1. Запиши площадь поперечного сечения цилиндра через радиус .
2. 1. Запиши связь .
3. 1. Вырази через и .
4. 1. Выразите из полученного соотношения.

Сколько времени понадобится порции жидкости, чтобы пройти длину трубы при известной средней скорости?

Используй простое соотношение пути и скорости: время равно длине, делённой на скорость, либо объём делённый на расход.

1. 1. Запиши скорость как среднюю по сечению (см. п.1.1.1).
2. 1. Выражи время как отношение длины к скорости .
3. 1. При желании перепиши через объём трубы и расход .
4. 1. Выразите из полученных соотношений.

Какую внешнюю причину надо создать, чтобы через вязкую трубку с заданными геометрией и расходом проходил такой поток крови?

Применяй формулу Пуазейля в общем виде, связывающую разность давлений , расход , вязкость , длину и радиус .

1. 1. Запиши формулу Пуазейля в форме, где выражено через , , , .
2. 1. Переверни соотношение, чтобы получить через .
3. 1. Подставь выражение площади при необходимости для альтернативной записи через .
4. 1. Выразите из полученного соотношения.

Подумай, какие вклады в изменение давления даёт вязкость в трубах и где появляется скачок из-за изменения радиуса.

Суммируй вклад вязкого сопротивления каждого участка (формула Пуазейля в виде давления вдоль участка) и добавь вклад кинетической энергии при резком сужении/расширении (бернуллевский скачок).

1. 1. Запиши падение давления на первом участке длины по Пуазейлю через , , .
2. 1. Запиши аналогичное падение давления на втором участке длины через , , .
3. 1. Выпиши скачок давления на стыке из п.1.2 через разность кинетических членов, подставив .
4. 1. Просуммируй три вклада и выразите итоговый расход или связь между суммарным и (получится квадратное уравнение для ).

Подумай, как распределяется суммарный расход по параллельным сосудам одной группы.

Расход на один сосуд равен суммарному расходу, делённому на число сосудов: , а средняя скорость в сосуде определяется как с .

1. 1. Вычисли для данной группы.
2. 1. Вырази площадь сечения одного сосуда через диаметр .
3. 1. Подставь и в соотношение .
4. 1. Выразите из полученной формулы.

Определи, какие участки дают падение давления внутри каждого сосуда: при вязком течении давление убывает вдоль длины сосуда.

Применяй формулу Пуазейля для каждого сосуда в виде выражения давления через расход , вязкость , длину и радиус (или через площадь ).

1. 1. Возьми расход через один сосуд и геометрию сосуда , (или ).
2. 1. Подставь эти величины в формулу Пуазейля, записанную для разности давлений на концах участка.
3. 1. Получи выражение для для каждой группы; для капилляра бери половину полного падения по длине (между началом и серединой).
4. 1. Выразите из полученной формулы.

Подумай, где возникают резкие изменения давления при переходе от одной группы сосудов к следующей.

Используй выражение для скачка давления при разветвлении из п.1.4, где в формуле участвуют суммарные площади сечений групп и соответствующие расходы .

1. 1. Для перехода из группы i в i+1 найди суммарные площади в начале и конце: и .
2. 1. Вырази скорости через расход и эти суммарные площади.
3. 1. Подставь в формулу скачка давления из п.1.4 или её аналог в терминах , , .
4. 1. Выразите при переходе из группы i в i+1.

Суммарное падение давления по артериальной системе — это сумма всех падений вдоль сосудов и всех скачков между группами от входа аорты до середины капилляров.

Просуммируй по группам вычисленные ранее и скачки ; итог даёт общую разность давлений в артериальной системе.

1. 1. Перечисли все группы от аорты до середины капилляра и выпиши для каждой и соответствующие на переходах.
2. 1. Сложи все и все последовательно по ходу потока.
3. 1. Убедись в единицах измерения и при необходимости переведи суммы в нужные единицы (Па или мм рт. ст.).
4. 1. Выразите общую разность давлений как сумму полученных членов.

Сравни полученную суммарную разность давлений с типичным средним давлением сердца и подумай, что в модели опущено, если числа не совпадают.

Опирайся на физические причины расхождения: модель была стационарной, линейной и не учитывает регуляторные механизмы сосудистой системы и потери при бифуркациях, а также вклад работы сердца в пульсовую составляющую; сформулируй качественное объяснение.

1. 1. Сопоставь численную суммарную разность давлений из п.2.1.5 с средним сердечным давлением мм рт. ст.
2. 1. Отметь различия моделей: в задаче учтены только вязкие и кинетические вклады, но не активная работа сосудов и пульсация.
3. 1. Предположи, что реальная кровеносная система регулирует сопротивление (изменением радиусов сосудов) и использует пульсовую работу сердца для поддержания потока.
4. 1. Выразите качественный вывод о том, что для согласования необходимо учесть активную регуляцию сосудов и пульсацию сердца.