Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
Как и все природные явления, образование облаков, возникновения дождя и грады, гроз являются очень сложными и трудно описываемыми физическими явления. Физика облаков, физика атмосферы – разделы физики, которые продолжают активно развиваться.
В данной задаче Вам предстоит провести некоторые простые оценки, связанные с движением дождевых капель в облаке и под ним.
Справа показана простейшая модель мощной грозовой ячейки. Не пугайтесь - рассчитывать все ее параметры вам не придется. Этот рисунок приведен для того, чтобы показать, что движение воздуха в нем может быть направлено вверх. вниз, в стороны – в общем куда угодно!
Для решения задачи Вам понадобятся следующие характеристики воздуха и воды:
плотность воды
; плотность воздуха будем считать постоянной и равной
; плотность водяного пара в воздухе при температуре воздуха у поверхности земли
равна ; а при температуре содержанием воды в воздухе можно пренебречь; вязкость воды (величина, которая определяет силы сопротивления воздуха, она понадобится вам один раз,. в одной формуле)
; ускорение свободного падения
;
Формула для объема шара
Серьезная математическая подсказка. Если скорость тела зависит от времени по закону
Например, примените эту формулу для
1.1 Нарисуйте очень схематические графики зависимости силы сопротивления от скорости, описываемые формулами (1) и (2).
1.1 Графики зависимости силы сопротивления от скорости показаны на рисунке. Из этого рисунка следует, что формулу следует применять при скоростях меньше критической, а формулу (2) при скоростях больших критической.
1.2 Получите формулу для «критической» скорости шарика
Представь, что в некоторой скорости оба выражения для силы сопротивления дают одинаковую величину; придумай, какие величины в них зависимы от скорости сильнее.
Воспользуйся тем, что здесь у тебя есть два выражения для силы сопротивления (формулы (1) и (2)). Приравняй правые части этих формул и сократи общие множители, чтобы получить уравнение, содержащее только скорость, радиус и параметры среды.
- Выпиши явно выражения для силы по формулам (1) и (2).
- Приравняй эти выражения и сократи общие множители (например, π и/или степени r, которые встречаются в обеих частях).
- Из оставшегося уравнения вырази критическую скорость
через параметры и .
1.2 Приравняем силы, задаваемые формулами (1) и (2) в условии задачи
Из этого выражения следует, что критическая скорость равна
1.3 Укажите, какую формулу для силы сопротивления следует использовать при описании движения капли в воздухе. Ответ кратко обоснуйте.
Независимо от вашего ответа на вопрос 1.3, далее используйте формулу (2).
Рассмотрим каплю, падающую в воздухе. По прошествии небольшого времени с начала падения, капля продолжает двигаться с некоторой постоянной, установившейся скоростью
Оцени порядок найденной критической скорости и сравни его с типичными скоростями падения капель — что больше?
Сделай вывод, пользуясь сравнением величин: если реальная скорость капли значительно превышает
- Возьми значение
из предыдущего пункта и типичную скорость капли (порядок м/с). - Сравни числа и укажи, какая формула даёт большую силу в реальном диапазоне скоростей.
- Кратко сформулируй выбор формулы для описания капли и обоснуй сравнением величин.
- Заключи: укажи, какую формулу используешь далее (без чисел).
1.3 Очевидно, что скорость падения капель значительно превышает величину найденной критической скорости. Поэтому для расчета силы сопротивления следует пользоваться формулой (2).
1.4 Покажите. что скорость установившегося движения капли радиуса
где
1.4 При скорости установившегося движения сила тяжести, действующая на каплю, уравновешивается силой сопротивления воздуха. Поэтому ее можно найти из условия
Эту формулу можно переписать в виде
Что и требовалось доказать.
1.5 Рассчитайте численное значение скорости
*В дальнейшем используйте формулу (3), считая величины
Теперь Вам необходимо объяснить, почему всегда дождь начинается с падения самых крупных капель. Пусть нижняя граница облака находится на высоте
1.5 Значение критической скорости для шарика радиуса
1.6 Рассчитайте. чему равна разность времен падения этих капель, считая, что движением воздуха под тучей можно пренебречь.
Пусть в процессе падения радиус капли незначительно уменьшается из-за ее испарения по закону
где
Две капли начали падать одновременно — их времена падения равны расстояние делённое на их установившиеся скорости. Подумай, как зависит время от радиуса.
Используй формулу (3):
- Запиши времена падения для каждой капли как
. - Подставь зависимость
и упростите отношение, выделив общий множитель . - Вычисли разность
в виде . - Подставь численные значения
и получи числовую разность времени.
1.6 Вторая, большая капля будет падать быстрее, разность времен падения рассчитывается по «детской» формуле:
1.7 Найдите закон движения капли испаряющейся капли
Подсказка. При малых
Капля уменьшается по закону радиуса, поэтому её установившаяся скорость меняется со временем. Запиши скорость как функцию времени и проинтегрируй для координаты.
Используй зависимость
- Подставь в
закон убывания радиуса и упрость подкоренное выражение. - Разложи корень для малого параметра
до линейного порядка. - Запиши скорость как функция времени в приближении первого порядка и заметив, что это равноускоренное движение, проинтегрируй по времени, используя формулу для
при при необходимости. - Вырази
из полученного интеграла (координату падения от нижней границы облака).
1.7 При падении капли ее скорость будет изменяться по закону
Т.е. движение капли будет равноускоренным. Поэтому закон движения капли будет иметь вид
2.1 Рассчитайте, с какой скоростью относительно земли будет подниматься капля радиуса
Рассмотрим каплю, которая зародилась на нижней границе облака. В процессе движения капли в облаке ее радиус возрастает вследствие продолжающейся конденсации водяных паров в облаке. На некоторой высоте капля замерзнет и превратится в градину. Пренебрежем различием в плотностях воды и льда. В этом случае движение капли и замерзшей градины описываются одинаково. Теория конденсации утверждает, что скорость роста радиуса капли описывается приближенной формулой
где
2.1 Сила сопротивления, определяется формулой (2) из условия задачи, в случае движения воздуха, под скоростью тела следует понимать относительную скорость: т.е. скорость тела относительно движущегося воздуха. В системе отсчета связанной с воздухом, установившаяся скорость капли есть
Следовательно, в системе отсчета. связанной с землей скорость движения капли равна
Если радиус капли не изменяется и равен
2.2 Рассчитайте, при каком радиусе капли
Капля растёт, её установившаяся скорость увеличивается с ростом радиуса; остановка подъёма происходит, когда подъёмный поток перестаёт удерживать каплю.
Пользуйся условием остановки: относительная скорость становится нулевой, т.е.
- Запиши условие остановки как равенство скорости потока и установившейся скорости капли.
- Подставь зависимость
и реши уравнение для . - Упростив, получи
. - Подставь числовые значения параметров и вычисли
.
2.2 При изменении радиуса капли скорость ее подъема будет изменяться. Так в условии оговорено, что капля достигает установившейся скорости очень быстро. то можно считать, что в любой момент времени скорость капли определяется формулой (7). Так как радиус капли изменяется, то изменяется и величина
Здесь использована полученная ранее зависимость скорости установившегося движения от радиуса капли (3).
Условие остановки капли может быть сформулировано различными способами:
- скорость капли стала равной нулю;
- относительная скорость капли стала равной по модулю скорости подъема;
- сила сопротивления стала равной силе тяжести;
и т.д.
При любом подходе должно выполняться соотношение
Из этого условия рассчитываем радиус остановившейся капли
2.3 Рассчитайте, за какое время
2.3 В данном пункте нам фактически необходимо найти закон движения капли
Используя «серьезную математическую подсказку» можно сразу записать закон движения капли
здесь
Этот закон описывает движение капли, как вверх, так и вниз. Как следует из выражения (13) в момент остановки
Следовательно, время подъема капли равно
Подставляя это выражение в закон движения (13). получаем, что максимальная высота подъема равна
2.4 Рассчитайте радиус капли (или градины)
2025 года
(Заключительный этап)
Теоретический тур
2.4 Из формулы (13) следует, что в момент возвращения капли к нижнему краю облака
Так как
Не мало, но такие градины бывают (см. рис.). Кроме того, они частично тают при полете к земле.
2025 года
(Заключительный этап)
Теоретический тур
Решения задачПохожие задачи
Полоса препятствий
На горизонтальной поверхности находится шероховатая полоса шириной
Образование облаков
Погожий летний день начинается с безоблачного утра. Часам к одиннадцати на небе появляются легкие белоснежные облака, к обеду почти все небо …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Неупругий удар
При описании удара движущегося тела о неподвижную стенку часто используется модель абсолютно упругого удара, при котором модуль скорости тела не …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Задача 9-2
Задание 2. «Дробь Мюнхгаузена»*
Согласно дошедшим до наших дней абсолютно правдивым рассказам барона, в старину для производства охотничьей дроби …
Шар в потоке
Расчет сил, действующих на различные тела, движущиеся в газах и жидкостях, является чрезвычайно сложной задачей. Уравнения гидро- и аэродинамики …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Кипение
При температуре