1.1 Рассмотрим слой воды малой толщины , находящийся на глубине . Уменьшение объема рассматриваемого слоя вследствие сжимаемости жидкости запишем как

где — площадь рассматриваемого слоя.

Для оценки будем считать, что плотность жидкости остается приблизительно постоянной, тогда толщина сжатого слоя

где — плотность несжатой жидкости, — ускорение свободного падения.

Соответственно, уменьшение его высоты вследствие эффекта самосжатия найдем как

Для нахождения полного сжатия всей жидкости просуммируем (1) по всем глубинам

Расчет для мирового океана дает

1.2 «Плотность» С учетом эффекта самосжатия найдем плотность реальной жидкости на глубине

В (2) учтено, что параметр (сжимаемость воды) очень мал, поэтому можно с достаточной точностью использовать приближение для малых

Соответственно, относительное увеличение плотности воды в процентах на глубине найдем как

Поскольку данные в условии задачи приведены с точностью до трех значащих цифр, то в ответе (4) (и далее!) мы также будем оставлять три значащие цифры.

Как видим из (4) даже при больших глубинах мирового океана относительное изменение плотности морской воды незначительно и составляет несколько процентов. Это позволяет считать жидкости практически несжимаемыми при решении ряда прикладных задач.

1.3 «Давление» Для вычисления давления реальной жидкости на глубине необходимо просуммировать давления, создаваемые более высокими тонкими слоями , которые, согласно закону Паскаля, передаются нижним слоям

где — плотность жидкости на глубине -го слоя.

Сумма в выражении (4), есть площадь под графиком зависимости (2) плотности жидкости от глубины, т.е. площадь трапеции (рис. 02).

Следовательно

Из (6) следует, что искомая зависимость представляет собой параболу с малым коэффициентом нелинейности.

С учетом того, что атмосферное давление также передается по закону Паскаля, окончательно получим

1.4 «Утонувший летучий голландец» Предмет перестанет тонуть и будет находится в состоянии устойчивого равновесия на некоторой глубине при условии, что его плотность будет равна плотности морской воды на этой глубине.

Следовательно, плотность утонувшего летучего голландца можно найти, подставив в выражение (3) искомую глубину км

Расчет с точностью до трех значащих цифр дает

2. «Заряженная жидкость» В данном пункте рассматривается несжимаемая жидкость.

2.1 Рассмотрим верхний слой жидкости глубиной (рис. 03). Действующая на него сверху сила атмосферного давления и сила его тяжести уравновешиваются силой давления снизу и силой электростатического отталкивания слоя толщиной слоем толщиной .

Напряженность электростатического поля, создаваемого слоем толщиной вне его может быть найдена, как

Заряд слоя толщиной найдем по определению объемной плотности заряда

Следовательно, сила электростатического отталкивания верхнего слоя нижним равна

В результате условие равновесия слоя глубиной примет вид

Сокращая в последнем выражении на площадь слоя, получим искомую зависимость давления в заряженной жидкости от глубины

2.2 Выражение (8) представляет собой квадратичную зависимость (параболу), ветви которой направлены вверх.

При малых () ее «поведение» определяется линейным членом, который, в зависимости от толщины пластины может быть как положительным, так и отрицательным. При максимально возможной толщине пластины линейный член должен быть равен нулю.

При этом верхние слои жидкости станут невесомы, т.е. . Отсюда найдем

При дальнейшем увеличении толщины заряженного слоя верхние частицы жидкости будут отрываться и улетать вверх, образуя «электрическое испарение».

2.3 Кубик некоторой массы, погруженный в заряженную жидкость, будет находиться в равновесии, если сила его тяжести будет уравновешена силой Архимеда.

Погружение кубика в заряженную жидкость не изменит распределения ее давления в нижележащих слоях.

Это позволяет записать следующее уравнение

Отсюда найдем искомое значение массы кубика