Нарисуй движение шарика между двумя стенками и проследи, как при каждом ударе меняется его импульс вдоль оси, перпендикулярной стенке.

Запиши среднюю силу через общий вид второго закона Ньютона для усреднённого импульсного обмена: .

1. Найди импульс, передаваемый стенке за одно абсолютно упругое столкновение.
2. Найди время между последовательными ударами шарика о одну и ту же стенку.
3. Подставь эти величины в выражение .
4. Вырази из полученной формулы.

Проследи, какие величины сохраняются в абсолютно упругом одномерном столкновении двух тел — какие суммарные величины до и после одинаковы?

Запиши законы сохранения импульса и кинетической энергии в общем виде для двух тел.

1. Запиши уравнение сохранения импульса для масс и скоростей до и после столкновения.
2. Запиши уравнение сохранения кинетической энергии для тех же скоростей.
3. Преобразуй систему, получив соотношение вида , и подставь в первое уравнение.
4. Вырази и из полученной системы линейных уравнений.

Что остаётся неизменным в замкнутой системе двух сталкивающихся тел при абсолютно упругом столкновении? Нарисуй векторную диаграмму скоростей до и после столкновения.

Запиши уравнения сохранения импульса и кинетической энергии для двух тел (до и после столкновения) и выпиши их в явном виде как соотношения между и .

1. Запиши два уравнения: одно для суммарного импульса до и после столкновения, другое для суммарной кинетической энергии.
2. Преобразуй их, вынеся разности квадратов и разделив, чтобы получить линейную связь между скоростями (получи соотношение вида ).
3. Подставь это соотношение в уравнение сохранения импульса и получи систему двух линейных уравнений для и .
4. Вырази и из полученной системы.

Подумай, как должны упроститься формулы скоростей, если масса второго тела стремится к нулю: как будет вести себя легкое тело и как — тяжелое?

Возьми общие выражения для скоростей после упругого столкновения и рассмотрь предел при .

1. Подставь в общие формулы условие .
2. Упрость выражения, отбросив слагаемые, содержащие в числителе по сравнению с .
3. Интерпретируй получившиеся скорости физически (движение тяжелого тела не изменяется, лёгкое отражается относительно скорости тяжёлого).
4. Вырази и в этом пределе.

Проследи за траекториями поршня и шарика между первым и вторым ударами: какие расстояния они проходят и за какое время?

Приравняй время движения поршня и шарика между ударами и реши это уравнение относительного движения.

1. Запиши расстояние, которое проходит поршень до следующего удара: , и расстояние, которое проходит шарик: , с их скоростями.
2. Приравняй времена: .
3. Реши это уравнение относительно , подставив найденную ранее .
4. Вырази и затем найдÿ время между ударами через и .

Обрати внимание на поведение шарика при каждом очередном абсолютно упругом ударе с движущимся поршнем: поршень имеет постоянную скорость, шарик до удара летит навстречу поршню. Нарисуй траекторию в пространстве координата—время для поршня и шарика между соседними ударами.

Воспользуйся результатом пункта 3.2 для абсолютно упругого удара, взяв частный случай, когда масса шарика заметно меньше массы поршня (предельный случай). Применяй это правило ко всем ударам шарика о поршень, считая, что перед каждым ударом шарик движется навстречу поршню.

1. Запиши соотношение между скоростью шарика до и после одного удара, используя формулу для предельного случая из пункта 3.2.
2. Покажи, что это соотношение одинаково для каждого удара и выпиши рекуррентную формулу для скоростей .
3. Определи положение следующего столкновения и время до него , приравнивая времена движения поршня и шарика между ударами (учти, что поршень движется с , шарик — с соответствующей скоростью).
4. Реши рекуррентную формулу и вырази , и через заданные величины и .

Подумай, как вычислять среднюю силу давления: сколько импульса передаётся поршню при одном ударе и как часто эти удары происходят.

Выпиши силу как отношение импульса, переданного за один удар (), к времени между ударами , подставь выражения для и , затем свяжи номер удара с расстоянием .

1. Запиши и подставь найденные выражения для и .
2. Упрость выражение для и найдÿ асимптотику при больших (учти, что ).
3. Свяжи с текущим расстоянием поршня до стенки (используя полученную формулу для ) и подставь в выражение для .
4. Вырази константы и показатель степени из полученного степенного закона .