3.1 Импульс, полученный стенкой за одно столкновение равен

время между ударами, очевидно, равно

Следовательно, средняя сила давления шарика на стенку равна

3.2 Для определения скоростей тел после соударения следует воспользоваться законами сохранения импульса и механической энергии

Для решения системы уравнений, преобразуем их и разделим одно на другое:

Тем самым, получаем систему двух линейных уравнений, решение которых находится легко

Если масса второго тела пренебрежимо мала , то из формул (5) следует

3.3.1 Полагая в формуле (6) , находим скорость шарика после первого удара

3.3.2 До следующего столкновения поршень пройдет расстояние , а шарик . Приравнивая их времена движения, получим уравнение

Из которого находим точку второго удара

И время между ударами

3.3.3 Из формул (6) следует, что после каждого удара скорость шарика увеличивается на (следует учесть, что шарик при всяком ударе летит навстречу поршню):

Таким образом, скорости шарика после ударов образуют арифметическую прогрессию, поэтому явное выражение для скорости шарика после -того столкновения с поршнем имеет вид

Чтобы установить связь между координатами точек последовательных ударов запишем уравнение, аналогичное уравнению (8), из которого определим

Последовательно подставляя значения легко найти, что

Время между последовательными ударами рассчитывается по формуле

Средняя сила давления шарика на поршень после -того удара равна

После большого числа ударов можно считать, что , и , поэтому

Следовательно, , .