Нарисуй график U(r) и отметь точку, где энергия минимальна. Подумай, какие два числа (характеристики минимума) полностью задают шкалу расстояний и шкалу энергии.

Найди положение минимума функции U(r) через условие экстремума (производная равна нулю). Введи удобную замену переменной, чтобы свести задачу к решению квадратного уравнения.

1. Введи переменную, обратную шестой степени расстояния, чтобы превратить U(r) в квадратичную функцию этой переменной.
2. Найди точку минимума этой квадратичной функции и вырази через неё равновесное расстояние r0.
3. Вычисли значение функции в этой точке и обозначь его как −U0.
4. Запиши U(r), вынеся множитель U0, и вырази U0 и r0 через исходные постоянные a и b. Выразите r0 и U0 из полученной системы.

Подумай: для равномерной цепочки вокруг любой молекулы расположение соседей симметрично — что это даёт для суммарной силы?

Используй принцип суммирования сил от всех соседей: если для каждой молекулы суммарная сила равна нулю, положение — равновесие.

1. Запиши суммарную силу на произвольную молекулу как сумму вкладов от всех соседей (с учётом направлений).
2. Используя симметрию равных расстояний, покажи, что вклады пар соседей компенсируют друг друга.
3. Сделай вывод, что при любых одинаковых расстояниях между соседями суммарная сила равна нулю, поэтому такие положения являются равновесиями. Выразите условие равновесия через суммарную силу (равную нулю).

Подумай, что установится в системе при долгом времени: положение, в котором энергия на одну молекулу минимальна.

Найди устойчивое равновесие как минимум потенциальной энергии на одну молекулу; то есть выпиши энергию частицы как функцию малого смещения и найдёшь её минимум.

1. Собери выражение полной потенциальной энергии, приходящейся на одну молекулу, как сумму вкладов от всех соседей, используя разложения .
2. Разложи эту сумму до линейного и квадратичного членов по (при необходимости), затем возьми производную по и приравняй её к нулю.
3. Реши уравнение для (получи число ). Выразите из полученного уравнения.

Оцени энергию частицы в устойчивом положении: подставь найденное смещение в выражение энергии на одну молекулу.

Вычисли как сумму вкладов по всем соседям (энергия в единицах ).

1. Запиши , трактуя сумму по n как сумму вкладов от всех соседей.
2. Подставь найденное значение в линейную аппроксимацию и вычисли сумму с нужной точностью, учитывая быстро убывающие члены.
3. Выполни численную суммировку до сходимости и выразите из полученной суммы (результат с точностью 10^{-3}).

Крайние молекулы теперь находятся дальше друг от друга, их взаимодействие меняется сильнее — учти это при расчёте.

Используй разложение для второй по расстоянию пары (n=2) и подставь найденное для расчёта изменения энергии между крайними молекулами.

1. Запиши выражение энергии для пары на расстоянии ≈2r0 с помощью коэффициентов и и учти изменение расстояния (зависящее от ).
2. Вычисли разницу между этим значением и соответствующим значением в бесконечной цепочке (с учётом ).
3. Упростив, выразите через известные коэффициенты и найденное . Выразите из полученной формулы.

Полная энергия трёх молекул — это сумма вкладов всех пар, учитывая, что в бесконечной цепочке были другие взаимодействия; сравни суммарное новое и старое значения.

Сложи изменения энергий всех пар и прибавь изменения собственной энергии каждой молекулы (если есть), чтобы получить полное изменение потенциальной энергии тройки.

1. Перечисли все пары, участвующие в полной потенциальной энергии трёх молекул (ближайшие и крайние) и выпиши их изменений из пп.3.2–3.3.
2. Просуммируй эти изменения, учитывая вклад каждой пары ровно один раз, и при необходимости учти изменение энергии самих молекул за счёт смещения.
3. Упростив, выразите полное изменение потенциальной энергии трёх молекул как сумму найденных Δw; выразите итоговую величину из полученной суммы.

Нарисуй вырванную пятёрку и отмечай все попарные расстояния между шариками в этой пятёрке; подумай, какие из этих расстояний отличаются от соответствующих расстояний в бесконечной цепочке.

Запиши суммарную энергию взаимодействия этих пяти шариков как сумму парных энергий; для каждой пары подставь приближённое разложение из части 1 в виде (энергии в единицах ).

1. Перечисли все пары внутри пятёрки и для каждой укажи соответствующее значение (номер соседа) и соответствующую относительную деформацию .
2. Подставь для каждой пары соответствующие коэффициенты и и выпиши выражение для суммарной энергии пятёрки и для суммарной энергии тех же пяти в бесконечной цепочке (используй те же индексы пар).
3. Вычти энергию в бесконечной цепочке из энергии пятёрки, группируя постоянные и линейные по члены отдельно.
4. Вырази изменение суммарной энергии пятёрки через полученную сумму по соответствующим и (т.е. представь итог как алгебраическую сумму известных коэффициентов и неизвестных малых ).

Сравни полную потенциальную энергию пяти освобождённых молекул с их энергией в бесконечной цепочке: какие межмолекулярные взаимодействия исчезают или меняются при вырыве участка? Нарисуй схему всех пар расстояний, которые поменяются.

Воспользуйся разложениями из части 1: энергию каждой пары можно взять в виде (в единицах ). Найди новые относительные смещения (или ) в изолированном куске из пяти шариков из уравнений равновесия сил (суммы вкладов ).

1. Запиши полную потенциальную энергию пяти молекул как сумму энергий всех пар внутри этого куска (включая ближайшие и дальние пары, по таблице n=1…5) с учётом их новых относительных смещений.
2. Запиши соответствующие уравнения равновесия для внутренних молекул (сумма сил от соседей равна нулю), подставив линейные разложения для каждой пары.
3. Реши линейную систему уравнений равновесия, найдя относительные сдвиги звеньев (дифференциальные величины или ) в этом пятиместном фрагменте.
4. Подставь найденные сдвиги в суммы энергий пар, выпиши выражение для изменения полной потенциальной энергии пяти молекул по сравнению с бесконечной цепочкой и выразите из полученной системы.