1.1 Равновесному расстоянию соответствует минимум потенциальной энергии. Не сложно найти точку экстремума функции (1). Для этого обозначим . Для этой переменной функция (1) является квадратичной

Точка минимума этой функции

Следовательно, равновесное расстояние удовлетворяет условию

Значение минимальной потенциальной энергии равно

Привести функцию (1) к виду можно разными способами, например, с помощью цепочки преобразований

1.2 Для проведения разложений функций сначала рассмотрим преобразование степеней в общем виде

Применение этой формулы энергии взаимодействия (2) приводит к результату

Следовательно, коэффициенты разложения равны

Аналогичное разложение для силы (3) дает

Коэффициенты этого разложения равны

Результаты расчетов коэффициентов приведены в таблице (1).

Таблица 1. Коэффициенты разложений.

Отметим, что числа в верхней строке являются точными и... понятными: потенциальная энергия в минимуме равна -1, а коэффициент равен нулю, так как это точка экстремума, сила в этой точке равна нулю. В нижней строчке приведены суммы этих коэффициентов, которые нам понадобятся в дальнейшем. Также важно отметить, что все эти коэффициенты быстро убывают с ростом , что соответствует быстрому убыванию, как силы, так и энергии взаимодействия при увеличении расстояния между молекулами.

2.1 Цепочка может находиться в равновесии при любых равных расстояниях между молекулами! Действительно, относительно любой молекулы остальные расположены симметрично. Поэтому суммарная сила, действующая на каждую молекулу равна нулю. Однако эти положения равновесия не будут устойчивыми.

2.2 Для поиска устойчивого равновесия необходимо найти положение минимума потенциальной энергии, приходящейся на одну молекулу.

*Дополнение, не входящее в основное решение.

Для нахождения экстремума (который будет находиться не слишком от точки* *) следует разложить формулу для потенциальной энергии до квадратичного слагаемого, используя следующий член в разложении степенной функции*

Для расстояния между молекулами, близкими к величина , поэтому

Применяя эту формулу к потенциальной энергии взаимодействия одной частицы с другой, находящейся на расстоянии близком к , получим

Далее, эту энергию следует просуммировать по всем от нуля до бесконечности. Такое суммирование приводит к следующему выражению для потенциальной энергии одной частицы

Экстремум этой функции и соответствует значению , приведенному в условии задачи. Качественно этот результат понятен – притяжение дальних (на расстояниях больших ) соседей незначительно увеличивает расстояние между соседними молекулами.

2.3 Для вычисления энергии одной молекулы (точнее, приходящейся на одну молекулу) необходимо просуммировать энергию ее взаимодействия со всеми молекулами и не забыть разделить ее на два, ведь энергия взаимодействия – это энергия пары молекул! Для такого суммирования можно воспользоваться приближенной формулой для энергии взаимодействия, поэтому

Так как коэффициенты разложения очень быстро убывают, то можно получить результат с требуемой точностью, ограничив сумму пятью слагаемыми, в этом случае (с использованием коэффициентов из Таблицы 1) получаем

Заметьте, что основной вклад в поправку (всего то 3%) дает взаимодействие с более далекими соседями, рассчитанной в предположении, что все молекулы находятся на расстоянии . Поправка на растянутость цепочки имеет порядок .

Для проверки мы провели расчет по двадцати слагаемым: результат .

3.1. Относительное изменение расстояния между молекулами (здесь оно одинаково) можно найти, записав условие равновесия крайних молекул

Решение этого уравнения дает следующее значение относительной деформации

Действительно, эта цепочка оказывается сжатой, но ее деформация крайне мала.

3.2 Рассчитаем энергию парного взаимодействия используя точную формулу

В то время к бесконечной цепочке она была равна

Обратите внимание – эта энергия уменьшилась:

(14)

3.3 Найдите изменение энергии взаимодействия между крайними молекулами можно рассчитывать по приближенной формуле

(15)
И эта энергия уменьшилась!

3.4 Таким образом, с точностью до 3 значащих цифр потенциальная энергия цепочки из трех зарядов равна энергии двух двойных связей, то есть . А в исходной бесконечной цепочке эта энергия равнялась энергии трех молекул, поэтому изменение суммарной энергии равно

(16)

4.1 Так как смещения молекул имеют тот же порядок, что и предыдущей части, то для расчета энергии взаимодействия можно учитывать только энергию парных взаимодействий:

(20)
Заметим, что и эта энергия уменьшается:

(21)

С требуемой точностью энергия цепочки из пяти молекул можно считать равной -4. Поэтому изменение энергии 5 молекул при их «вырывании» из бесконечной цепочки равно

Вопрос последний.

Действительно наличие границы приводит к малому сжатию приповерхностного слоя, но, во-первых, оно мало, во-вторых, общая энергия связей при этом уменьшается! Увеличение же суммарной энергии взаимодействия связано главным образом с уменьшением числа связей, их разрывом при выходе молекул на поверхность!