1.1. Пусть расход топлива равен . За некоторый промежуток времени автомобиль проедет расстояние и израсходует объём топлива. При сгорании этого топлива выделится энергия . Часть данной энергии пойдёт на обеспечение электроники автомобиля и преодоление силы сопротивления воздуха, работа которой за указанный промежуток времени равна . В итоге получаем:

Откуда выражаем расход топлива:

1.2. Выражение (2) можно преобразовать к виду «»:

То есть минимальный расход топлива равен:

Реализуется минимальное значение расхода при условии (согласно примечанию про выражение вида в условии задачи), то есть:

2. Подъём в гору

2.1. В случае подъёма в выражении (1) в правой части необходимо добавить работу на преодоление силы тяжести — . Так как высота подъёма рассчитывается как , получим уравнение:

Откуда следует выражение для расхода топлива:

2.2. В выражении (8) зависимость от скорости имеет вид , идентичный рассмотренному в первом пункте задачи. Тогда минимальный расход топлива будет реализован при той же скорости равномерного движения . Сам минимальный расход при этом равен:

3. Спуск с горы

3.1. Теперь сила тяжести совершает работу над автомобилем – данное поступление энергии надо записать в левую сторону выражения (1):

Отсюда расход топлива определяется выражением:

3.2. Приравнивая выражение (11) к нулю, можно получить квадратное уравнение:

Его дискриминант равен:

А решение имеет вид:

Подставляя числовые значения, получим два искомых значения скорости:

4.1. Количество энергии, необходимое на разгон автомобиля мы уже считали в п.3.3. Запишем (1), добавляя слагаемое, связанное с разгоном.

Вспоминая, что для равноускоренного движения без начальной скорости справедливо , получим искомое выражение для зависимости расхода топлива от времени.

5.1. Исходя из графика, представленного в условии задачи, мы можем получить информацию о горизонтальной координате, высоте, и угле наклона дороги в любой точке. На основании того, что горизонтальные координаты на дороге на два порядка превышают вертикальные, отсчитываемые от места начала движения, будем считать, что пройденный автомобилем путь мало отличается от его координаты (то есть высота подъема пренебрежимо мала по сравнению с горизонтальным перемещением). Так как по условию ускорением можно пренебречь, то справедливо выражение (8) для расхода топлива при подъёме на склон. Его можно переписать в виде квадратного уравнения для скорости:

Подставив значение , из уравнения (25) сможем определить скорость движения при заданном расходе топлива. Возьмём некоторое количество точек на графике в условии и

проведём для них соответствующие вычисления. Результаты будем записывать в таблицу. Для определения угла по графику удобной процедурой является измерение , построив касательную к профилю. К нашему удобству, для малого уклона . У квадратного уравнения, вообще говоря, два различных корня. Однако один из них будет соответствовать медленному движению, не подходящему под условие данного пункта.

Для того чтобы найти время движения автомобиля, построим график зависимости величины, обратной скорости от пройденного пути. Действительно, их произведение на каждом малом промежутке дает соответствующий интервал времени, а вся площадь под графиком будет определять полное время движения автомобиля.

Таблица 1

Рисунок 4 - График зависимости обратной скорости от пройденного пути

Под графиком на рис. 2 оказалось примерно 67 клеток. Площадь каждой определяется ценой деления и равна: . Получаем, что общее время движения автомобиля из пункта А в пункт В оцениваем как:

6. Интересно знать