Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.В задаче рассматриваются собственные колебания симметричной цепочки, состоящей из
Мы будем рассматривать только симметричные продольные колебания. Поэтому достаточно описать движение половины цепочки, полагая при этом, что центральный шарик неподвижен. Для описания движения будем использовать функции
Собственным колебанием называется такое колебание, при котором все шарики колеблются по гармоническому закону с одной частотой, в одной фазе, но с разными амплитудами. Частоты таких колебаний называются собственными частотами.
1.1 Найдите собственную круговую частоту
Нарисуй один шарик и подумай, какие силы на него действуют при малом продольном смещении. Что будет действовать в направлении смещения?
Запиши второй закон Ньютона для шарика и учти закон Гука для пружины:
- Запиши уравнение движения для смещения
с ускорением . - Узнай, какого вида это уравнение (какой тип колебаний оно описывает).
- Вырази частотный параметр из этого уравнения.
- Выразите
из полученной системы.
2.1 Запишите уравнения, описывающие движения шариков. В качестве единственного параметра этих уравнений используйте частоту
Смотри на два движущихся шарика: какие пружины тянут каждый из них и от каких относительных смещений зависят силы?
Применяй второй закон Ньютона к каждому шарику и используй линейную силу пружины; удобнее выразить все через найденную ранее величину
- Для первого шарика выпиши суммарную силу как разность натяжений соседних пружин и запиши
равным этой сумме. - Для второго шарика выпиши соответствующее уравнение с силами от соседних пружин и запиши
. - Раздели оба уравнения на
и подставь , чтобы получить систему для . - Выразите ускорения
и (или перепишите уравнения) через и координаты.
2.1 Уравнения движения шариков следуют из второго закона Ньютона и закона Гука
Или
Чтобы найти частоты собственных колебаний представим решение уравнений (4) в виде
Где
Выразим из обоих уравнений (6) отношение амплитуд
Чтобы система уравнений (6) была совместна необходимо, чтобы найденные отношения (7) были равны, что дает уравнение для определения собственных частот колебаний
Здесь обозначено
Таким образом, собственные частоты собственных колебаний данной системы равны
Отношения амплитуд колебаний шариков при этих колебаниях будут соответственно равны
2.2 Определите собственные частоты колебаний шариков
Попробуй искать собственные колебания как синфазные гармоники: какие формы времени удобны для подстановки?
Подставь пробное гармоническое решение
- Подставь
в уравнения движения и сократи общий множитель . - Получишь два алгебраических уравнения для
и с параметром . - Вырази отношение
из первого и из второго уравнения. - Приравняй два выражения для
и выразите из полученной совместности.
3.1 Запишите в общем виде уравнения, описывающие движение шарика номер
3.1 Уравнение движения произвольного шарика имеет вид
Или
Для
3.2 Определите все собственные частоты
Гуманитарная помощь!
Для решения поставленной задачи следует выполнить следующую последовательность действий:
3.2 Последуем по пути, подсказанному «гуманитарной помощью».
Подставим пробное решение
Которое перепишем в симметричном виде
Теперь подставим пробное решение для этого уравнения
Обоснование такого предсказания заключается в том, что фактически свободные колебания являются стоячими волнами на цепочке. Кроме того, синус выбран, чтобы удовлетворить условию
Указанная подстановка дает:
Используя известную тригонометрическую формулу для суммы синусов, получим
Теперь подставим пробное решение во второе граничное условие
Так
Итак, параметр
Наконец, с помощью формулы (17) находим частоты собственных колебаний
После подстановки выражения (20), получаем окончательную формулу для частот колебаний
В этой формуле
3.2.1 Представьте решение системы уравнений движения в виде
Подставь время-зависимость в виде гармоники и посмотри, что остаётся для амплитуд.
После подстановки
- Сократи общий временной множитель и выпиши уравнение для амплитуд.
- Приведи его к стандартному симметричному виду рекуррентного соотношения.
- Обозначь полученную систему для всех
от 1 до с учётом граничных условий. - Выразите систему уравнений для амплитуд
.
3.2.2 Зависимость амплитуд колебаний от номера шарика может быть записана в виде
3.2.3 Используя уравнение для последнего шарика
Посмотри на граничное условие у крайнего (N‑го) шарика: как оно ограничивает форму стоячей волны по пространству?
Положив
- Запиши граничное условие для пробной функции
на . - Преобразуй разность синусов и выдели ненулевой множитель, чтобы получить условие на аргумент синуса.
- Выпиши общее решение этого условия в виде кратных значений аргумента и получи формулу для дискретных
. - Выразите возможные значения параметра
(дискретный набор ).
3.2.4 Сравнивая результаты, полученные в п.3.2.2 и 3.2.3, получите формулу для собственных частот колебаний.
Похожие задачи
Гитарная струна
В данной задаче рассматриваются малые поперечные колебания гитарной струны с закрепленными концами.
Основная мода (тип, форма) колебания этой струны …
Негармонические колебания
Оборудование: два штатива, желоб пластиковый длиной 110см закреплённый на двух дощечках длиной 56см каждая (ширина дощечек 5,0 - 6,0см, толщина 1,0 …
У Р Б П ≈3/5 Т3
Задача 10-3
«Колебания стержня»*
По тонкому закрепленному кольцу радиуса
Разминка
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач.
У Р Б П ≈3/5 Э1
«Качательные» колебания
Оборудование: цилиндр металлический, линейка деревянная, секундомер, пластилин, палочка деревянная.
С помощью пластилина прикрепите к боковой грани …
Гигантомания
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач на одну тему.
Во всех задачах следует пренебрегать:
• взаимодействием тел с Солнцем и …