2.1 Уравнения движения шариков следуют из второго закона Ньютона и закона Гука

Или

Чтобы найти частоты собственных колебаний представим решение уравнений (4) в виде

Где - амплитуды колебаний первого и второго шариков. Подстановка функций (5) в уравнения (4) дает уравнения для амплитуд

Выразим из обоих уравнений (6) отношение амплитуд

Чтобы система уравнений (6) была совместна необходимо, чтобы найденные отношения (7) были равны, что дает уравнение для определения собственных частот колебаний

Здесь обозначено . Решая это уравнение, получим

Таким образом, собственные частоты собственных колебаний данной системы равны

Отношения амплитуд колебаний шариков при этих колебаниях будут соответственно равны

3.1 Уравнение движения произвольного шарика имеет вид

Или

Для следует положить . Для крайнего шарика можно отбросить первое слагаемое в уравнении (12). Но проще и красивее распространить уравнение (13) на фиктивный шарик, причем считать, что .

3.2 Последуем по пути, подсказанному «гуманитарной помощью».
Подставим пробное решение в уравнение (13). После сокращения получим уравнение для амплитуд

Которое перепишем в симметричном виде

Теперь подставим пробное решение для этого уравнения .
Обоснование такого предсказания заключается в том, что фактически свободные колебания являются стоячими волнами на цепочке. Кроме того, синус выбран, чтобы удовлетворить условию .
Указанная подстановка дает:

Используя известную тригонометрическую формулу для суммы синусов, получим



Теперь подставим пробное решение во второе граничное условие и преобразуем его

Так отличен от нуля (иначе цепочка не колеблется!), то

Итак, параметр может принимать только дискретный ряд значений

Наконец, с помощью формулы (17) находим частоты собственных колебаний

После подстановки выражения (20), получаем окончательную формулу для частот колебаний

В этой формуле изменяется в пределах от 1 до , т.к. дальнейшее увеличение этого параметра приведет к повторению частот. Поэтому число собственных частот равно числу подвижных шариков, т.е.