Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.В наших широтах зимой дни короче, чем летом. Поэтому Земля получает меньше энергии от Солнца, поэтому зимой холоднее. Очевидно! Однако, самые короткие дни в декабре, а самый холодный месяц – январь. В этой задаче вам предстоит объяснить этот сдвиг во времени.
Конечно, описание (и предсказание) погоды задача не благодарная и сомнительно, что когда-нибудь будет точно решена – слишком много параметров, слишком много случайных факторов, слишком неустойчивы уравнения. Тем не менее, глобальные усредненные оценки климатических характеристик можно получить, основываясь на простых моделях.
Для решения задачи воспользуйтесь следующими подсказками.
Солнечная постоянная – количество солнечной энергии, падающей на площадку единичной площади, расположенную перпендикулярно падающим лучам в единицу времени
. Закон Стефана-Больцмана. Мощность теплового излучения, испускаемого нагретым черным телом с площадки единичной площади, определяется по формуле
- Воздух считать идеальным двухатомным газом с молярной массой
.
Молярная теплоемкость двухатомного газа при изохорном процессе равна
Атмосферное давление считайте равным
Удельная теплоемкость воды
, плотность воды , ускорение свободного падения принять равным .
1.1 Рассчитайте среднюю температуру земной поверхности.
Для оценки можно принять, что температура Земной поверхности постоянна во всех точках и не зависит от времени.
Подумай, в каком соотношении должна находиться мощность, падающая на Землю, и мощность, которую она излучает, в стационарном среднем состоянии.
Запиши уравнение теплового баланса: средняя поступающая мощность на всю планету равна суммарной излучаемой мощности по закону Стефана—Больцмана для температуры поверхности.
- Запиши поступающую мощность от Солнца как
умноженную на проекцию площади шара на плоскость, принимающую излучение. - Запиши излучаемую мощность как
умноженную на полную поверхность шара. - Сравни эти две величины и получи уравнение для
. - Вырази
из полученного уравнения.
2.1 Небольшое тело массы
Подсказка. Поищите решение в очевидном виде
Причем считайте, что
Система установится в гармоническое вынужденное движение с некоторым сдвигом фазы между силой и скоростью; нарисуй графики силы и предполагаемой скорости со сдвигом.
Запиши уравнение движения вторым законом Ньютона с силой вязкого трения:
- Подставь
в уравнение движения и разверни при малом (используй первые члены разложения косинуса и синуса). - Раздели полученное равенство на коэффициенты при
и и приравняй их по отдельности. - Реши полученную систему для
и . - Вырази
(и при желании ) из полученной системы.
2.1 Для того, чтобы найти время задержки необходимо найти закон изменения скорости тела со временем. Для этого надо использовать уравнение второго закона Ньютона
Чтобы уменьшить число параметров перепишем это уравнение в виде
Где обозначено
которую при
В этом же приближении ускорение тела описывается функцией
Подставим выражения для скорости и ускорения в уравнение (4):
Чтобы это равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо выполнение условий (приравниваем коэффициент при
Из этих формул находим требуемые величины
Время задержки
Амплитуда скорости (с учетом
Дополнение для скептиков. Не трудно найти и точное решение (4). Если зависимость скорости от времени описывается функцией
То ускорение меняется со временем по закону
Подставим эти выражения в уравнение движения:
Левую часть этого уравнения преобразуем традиционным способом
Где сдвиг фаз определяется, как
Откуда следует, что амплитуда изменения скорости частицы равна
А время задержки между максимумом силы и максимумом скорости равно
Полагая
2.2 Емкость конденсатора
Прочувствуй аналогию: заряд на конденсаторе отстает по фазе от тока так же, как скорость отстает от силы в вязкой среде.
Запиши баланс токов в цепи с утечкой:
- Составь дифференциальное уравнение для заряда:
. - Подставь предполагаемое решение
и разверни при малом . - Приравняй коэффициенты при синусе и косинусе и получи систему для
и . - Вырази
из полученной системы и интерпретируй приближение как соотношение времен (время разряда намного меньше периода).
2.2 Конденсатор с утечкой можно представить, как параллельно соединенные резистор и конденсатор (см. рисунок).
В этой цепи суммарная сила тока равна сумме сил токов через резистор и конденсатор:
Сила тока через резистор подчиняется закону Ома
где
Подставляя значения сил токов в уравнение (12), получим
А теперь сравним это уравнение с уравнением (4) – они полностью совпадают (только обозначения другие), поэтому сразу переписываем ответ: зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет вид
Где время задержки
максимальный заряд на конденсаторе равен
Теперь становится понятным и смысл условия
3.1 Найдите массу воздуха в этом сосуде. Рассчитайте массу атмосферного столба, приходящуюся на 1 м2 поверхности Земли.
Подумай, что поддерживает столб воздуха: чем балансируется вес всей толщи атмосферы?
Запиши условие гидростатического равновесия для всего столба: давление на дно
- Положи давление на дно
и площадь поперечного сечения и запиши . - Вырази массу
через . - Подставь
м^2, получи массу атмосферного столба на 1 м^2. - Вырази численно
для единицы площади.
3.1 Так как столб находится в равновесии, то выполняется очевидное условие:
Из этого равенства следует, что масса воздуха равна
Численный результат удивителен, для площади в 1 м²:
3.2 При изменении температуры воздуха расширяется. Каким является процесс расширения воздуха? Ответ обоснуйте.
При нагреве столб воздуха меняет объём, но что остаётся фиксированным снизу — давление на опорную поверхность.
Определи характер процесса: нагрев столба происходит при постоянном давлении (изопроцесс), потому что внешнее атмосферное давление
- Объясни, что давление на дно столба равно внешнему давлению и не зависит от температуры (гидростатический баланс).
- Следовательно, при изменении температуры объём столба меняется при постоянном давлении.
- Сделай вывод: процесс расширения воздуха изобарный (изохорным он не является).
- Вырази следствие: для теплоёмкости нужно брать молярную теплоёмкость при постоянном давлении.
3.2 Массы воздуха можно вычислить, как сумму масс всех слоев. Так как давление и плотность пропорциональны, то изменение плотности описывается формулой, аналогично формуле (26) для давления. Поэтому масса воздушного столба равна
Такой же результат можно получить, интегрируя формулу (26a).
3.3 Чему равна молярная теплоемкость воздуха в этом процессе?
Какая молярная теплоёмкость соответствует изобарному нагреву для идеального двухатомного газа?
Воспользуйся соотношением между теплоёмкостями идеального газа:
- Запиши
. - Подставь значение
для двухатомного газа. - Приведи выражение для
в виде комбинации констант молярной газовой постоянной. - Вырази
из полученной системы.
3.3 Для вычисления высоты центра масс следует воспользоваться определением
Здесь
1 [^1]
На последнем шаге мы пренебрегли в числителе малым по сравнению с 1 слагаемым
- действительно все наши рассуждения справедливы при очень малых
.
С учетом выражения (27) для массы столба, получаем, что его центр масс находится на высоте
Отметим, интересную и легко запоминающуюся формулу: высота центра масс изотермического столба газа удовлетворяет соотношению
Конечно, такой же результат следует и в результате интегрирования!
3.4 Чему равна теплоемкость воздуха в этом сосуде?
Для оценки теплоемкости Земли к теплоемкости атмосферы следует добавить теплоемкость поверхности. Приближенно можно считать, что земля прогревается на 1,0 м и ее удельная теплоемкость примерно равна удельной теплоемкости воды.
Теплоёмкость столба воздуха равна числу молей в нём, умноженному на молярную теплоёмкость при постоянном давлении.
Используй результат 3.1 для массы
- Возьми массу столба на 1 м^2 из пункта 3.1:
. - Найди число молей
(учти, что в СИ). - Вычисли теплоёмкость столба:
. - Вырази
на единицу площади через и .
3.4 При расчете теплоемкости столба необходимо учесть, что при повышении температуры увеличивается не только кинетическая энергия молекул газа (т.е. его внутренняя энергия), но и потенциальная энергия в поля тяжести земли (обозначим изменение этой энергии
Следовательно, теплоемкость воздушного столба равна
Первое слагаемое в этой формуле есть теплоемкость газа при изохорном процессе
Второе слагаемое – описывает изменение потенциальной энергии в поле тяжести земли. Оно равно:
Итак, полная теплоемкость столба воздуха оказывается равной:
3.5 Рассчитайте численное значение теплоемкость земли, приходящейся на 1м2 ее поверхности.
Оцени теплоёмкость земной поверхности, считая, что прогревается верхний слой толщиной 1 м с удельной теплоёмкостью, близкой к воде.
Запиши теплоёмкость слоя земли на 1 м^2 как
- Определи массу этого слоя на 1 м^2:
с м. - Запиши теплоёмкость как
. - Подставь численные значения
и для получения числовой оценки. - Вырази окончательное значение
на 1 м^2 через данные параметры.
3.5 К данной теплоемкости следует добавить теплоемкость слоя воды
Обратите внимание, что теплоемкость атмосферы более чем в два раза больше теплоемкости слоя воды!
Суммарная теплоемкость
4.1 Укажите основную причину того, что поток энергии на северное полушарие зависит от времени.
Что год за годом меняет распределение солнечной энергии между полушариями — представь Землю с наклоном оси к плоскости орбиты.
Отметь, что основная причина сезонной вариации потока на полушарие — наклон оси вращения Земли, приводящий к изменению угла падения солнечных лучей и продолжительности дня.
- Опиши, как наклон оси меняет среднюю инсоляцию северного полушария в течение года.
- Поясни, что это даёт периодическую компоненту в потоке вида
в уравнении (5). - Свяжи фазу этой компоненты с календарным временем (максимум/минимум инсоляции).
- Вырази качественно, почему
и меняется со временем.
4.1 Главная причина изменения потока теплоты от Солнца – наклон земной оси к плоскости ее орбиты.
4.2 Чему равна величина
Определи период, с которым меняется инсоляция в годичном цикле.
Вспомни, что аргумент в косинусе в (5) соответствует годичной периодичности, значит
- Напиши, что период равен одному году
. - Свяжи частоту и период:
. - Вырази численное значение
(в радианах в секунду) через продолжительность года при необходимости. - Остановись на выражении
.
4.2 Очевидно, что период изменения равен одному году, поэтому
4.3 Получите уравнение, описывающее изменение величины
Запиши баланс энергии для единицы площади полосы: изменение внутренней энергии равно разности приходящей и уходящей излучаемой мощности.
Составь уравнение теплового баланса: теплоёмкость на единицу площади
- Запиши полное уравнение баланса энергии на единицу площади:
. - Подставь
и разложи в линейном приближении по (оставь только первый порядок). - Упрощая, получи линейное дифференциальное уравнение для
: , где выражается через и . - Вырази окончательное линейное уравнение для
и подготовь его к решению для амплитуды и фазы.
4.3 Запишем уравнение теплового баланса с учетом теплоемкости Земли (в расчете на
Теперь подставим значение
В этом уравнении
А это уравнение совпадет с рассмотренными уравнениями (4) и (15) Поэтому его решение будет аналогичным!
Следовательно, приближенное значение временной задержки равно
Эта величина в 10 раз меньше периода изменения потока энергии. Поэтому использованное приближение вполне применимо.
Как видно, проведенный анализ, даже в рамках приближенных моделей дал прекрасный результат!
Дополнение для скептиков, не входящее в решение задачи.
Почти очевидное заключение о том, что нагрев атмосферы происходит изобарно, можно подтвердить прямым расчетом.
Теплоемкость земной атмосферы.
Мысленно разобьем воздушный столб на тонкие слои толщиной
Плотность воздуха в слое
Подстановка этого выражения в формулу (22) дает следующий результат
Где обозначено искомое значение знаменателя прогрессии
Таким образом, зависимость давления от номера слоя имеет вид
Для любителей высшей математики: при бесконечно малой толщине слоя эта формула преобразуется к виду (что можно получить, как с помощью предельного перехода в формуле (26), так и рассматривая выражение (24) как дифференциальное уравнение)
4.4 Определите время задержки между минимумом солнечной энергии, поступающей на поверхность земли, и минимумом температуры.
Примечания
Похожие задачи
Обогрев дома
Республика Беларусь тратит значительно количество энергии на обогрев помещений. Экономия ресурсов, затрачиваемых на отопление, является важной …
У Р Б П ≈3/5 Т1
Степенные зависимости
Задание состоит из двух задач, связанных одной математической идеей:
если некоторая величина
Что изучает физика?
Все науки делятся на две части – физика и коллекционирование марок!
Э. Резерфорд
Кислород и водород – методы охлаждения
Йоханнес Дидерик Ван-дер-Ваальс — голландский физик. В первую очередь известен как автор уравнения Ван-дер-Ваальса, с хорошей точностью описывающего …
У Р Б П ≈3/5 Т1
Гигантомания
Данное задание состоит из трех не связанных между собой задач на одну тему.
Во всех задачах следует пренебрегать:
• взаимодействием тел с Солнцем и …
Монгольфьер и шарльер
Первые полеты на воздушных шарах состоялись во Франции в 1783 году. Энтузиастами воздухоплавания являлись братья Жозеф-Мишель и Жак-Этьен Монгольфье. …
У Р Б П ≈2/5