2.1 Для того, чтобы найти время задержки необходимо найти закон изменения скорости тела со временем. Для этого надо использовать уравнение второго закона Ньютона

Чтобы уменьшить число параметров перепишем это уравнение в виде

Где обозначено . Теперь воспользуемся подсказкой. Зависимость скорости от времени описывается функцией

которую при можно упростить, используя приближенные формулы :

В этом же приближении ускорение тела описывается функцией

Подставим выражения для скорости и ускорения в уравнение (4):

Чтобы это равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо выполнение условий (приравниваем коэффициент при и ):

Из этих формул находим требуемые величины

Время задержки

Амплитуда скорости (с учетом )

Дополнение для скептиков. Не трудно найти и точное решение (4). Если зависимость скорости от времени описывается функцией

То ускорение меняется со временем по закону

Подставим эти выражения в уравнение движения:

Левую часть этого уравнения преобразуем традиционным способом

Где сдвиг фаз определяется, как . Чтобы уравнение (7) обращалось в верное тождество при любом , необходимо, чтобы выполнялись условия

Откуда следует, что амплитуда изменения скорости частицы равна

А время задержки между максимумом силы и максимумом скорости равно

Полагая *, получим выведенные ранее приближенные формулы.*

2.2 Конденсатор с утечкой можно представить, как параллельно соединенные резистор и конденсатор (см. рисунок).
В этой цепи суммарная сила тока равна сумме сил токов через резистор и конденсатор:

Сила тока через резистор подчиняется закону Ома

где - напряжение на конденсаторе (и равное ему напряжение на резисторе), - заряд на конденсаторе. Наконец, сила тока через конденсатор равно скорости изменения его заряда

Подставляя значения сил токов в уравнение (12), получим

А теперь сравним это уравнение с уравнением (4) – они полностью совпадают (только обозначения другие), поэтому сразу переписываем ответ: зависимость заряда на конденсаторе от времени имеет вид

Где время задержки

максимальный заряд на конденсаторе равен

Теперь становится понятным и смысл условия время разряда конденсатора значительно меньше периода колебаний тока.

3.1 Так как столб находится в равновесии, то выполняется очевидное условие:

Из этого равенства следует, что масса воздуха равна

Численный результат удивителен, для площади в 1 м²:

3.2 Массы воздуха можно вычислить, как сумму масс всех слоев. Так как давление и плотность пропорциональны, то изменение плотности описывается формулой, аналогично формуле (26) для давления. Поэтому масса воздушного столба равна

Такой же результат можно получить, интегрируя формулу (26a).

3.3 Для вычисления высоты центра масс следует воспользоваться определением

Здесь - масса слоя , - высота, на которой находится этот слой. Вычислим эту сумму (с использованием формулы ):

¹ [^1]

На последнем шаге мы пренебрегли в числителе малым по сравнению с 1 слагаемым

• действительно все наши рассуждения справедливы при очень малых .

С учетом выражения (27) для массы столба, получаем, что его центр масс находится на высоте

Отметим, интересную и легко запоминающуюся формулу: высота центра масс изотермического столба газа удовлетворяет соотношению

Конечно, такой же результат следует и в результате интегрирования!

3.4 При расчете теплоемкости столба необходимо учесть, что при повышении температуры увеличивается не только кинетическая энергия молекул газа (т.е. его внутренняя энергия), но и потенциальная энергия в поля тяжести земли (обозначим изменение этой энергии .

Следовательно, теплоемкость воздушного столба равна

Первое слагаемое в этой формуле есть теплоемкость газа при изохорном процессе

Второе слагаемое – описывает изменение потенциальной энергии в поле тяжести земли. Оно равно:

Итак, полная теплоемкость столба воздуха оказывается равной:

3.5 К данной теплоемкости следует добавить теплоемкость слоя воды

Обратите внимание, что теплоемкость атмосферы более чем в два раза больше теплоемкости слоя воды!

Суммарная теплоемкость поверхности земли равна

4.1 Главная причина изменения потока теплоты от Солнца – наклон земной оси к плоскости ее орбиты.

4.2 Очевидно, что период изменения равен одному году, поэтому

4.3 Запишем уравнение теплового баланса с учетом теплоемкости Земли (в расчете на ):

Теперь подставим значение . Если , то . Тогда уравнение (36) преобразуется к виду

В этом уравнении (как условие теплового баланса в усредненном приближении). Наконец, перепишем (37) в виде

А это уравнение совпадет с рассмотренными уравнениями (4) и (15) Поэтому его решение будет аналогичным!

Следовательно, приближенное значение временной задержки равно

Эта величина в 10 раз меньше периода изменения потока энергии. Поэтому использованное приближение вполне применимо.

Как видно, проведенный анализ, даже в рамках приближенных моделей дал прекрасный результат!

Дополнение для скептиков, не входящее в решение задачи.

Почти очевидное заключение о том, что нагрев атмосферы происходит изобарно, можно подтвердить прямым расчетом.

Теплоемкость земной атмосферы.
Мысленно разобьем воздушный столб на тонкие слои толщиной При переходе от слоя номер к следующему слою давление будет уменьшаться на величину гидростатического давления в этом слое, т.е.

Плотность воздуха в слое зависит от давления в этом слое, эта зависимость следует из уравнения состояния идеального газа¹:

Подстановка этого выражения в формулу (22) дает следующий результат

Где обозначено искомое значение знаменателя прогрессии

Таким образом, зависимость давления от номера слоя имеет вид

Для любителей высшей математики: при бесконечно малой толщине слоя эта формула преобразуется к виду (что можно получить, как с помощью предельного перехода в формуле (26), так и рассматривая выражение (24) как дифференциальное уравнение)