1.1 Суть метода «мысленного поворота» фактически полностью «изложена» в его названии: рассмотрим поворот всей системы одинаковых зарядов «как целого» (Рис. 01) в любом направлении (например, по часовой стрелке) на угол (или кратный ему).

Поскольку электростатическое поле является центральным, то вектор напряженности точечного заряда всегда направлен вдоль прямой, проходящей через данный заряд.

Это значит, что искомый вектор напряженности системы тоже «жёстко связан» с рассматриваемой системой зарядов. Следовательно, при повороте системы зарядов он также повернётся в плоскости рисунка на угол .

Таким образом, при подобном «мысленном повороте» вектор напряженности поля поменяет свое направление, т.е. вектор изменится.

Но с другой стороны, в силу симметрии данной системы зарядов, при таком повороте каждый заряд «перейдет» в соседний, т.е. с точки зрения «стороннего наблюдателя» в системе ничего не изменится (!), поскольку все заряды одинаковые. Следовательно, вектор при таком повороте не изменится!

Мы пришли к логическому противоречию, следовательно, что-то предположили неверно. На самом деле данное противоречие возникло лишь потому, что обычно у вектора есть длина, и «по умолчанию» мы считали его ненулевым, т.е.

«Разрешить» полученное противоречие можно только предположив обратное, что

Иными словами, можно считать, что нулевой вектор направлен «куда угодно», поскольку его модуль равен нулю. Говоря более строго, с нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве, т.е. он сонаправлен (и перпендикулярен!) любому ненулевому вектору.

Таким образом, при одинаковых зарядах в вершинах произвольного правильного многоугольника напряженность электростатического поля в его центре равна нулю.

Заметим, что и другие методы (например, суммирование векторов по правилу многоугольника) приводят к такому же результату (2), но именно метод «мысленного поворота» содержит неявную подсказку нашим юным олимпийцам для выполнения следующего пункта задачи.

1.2 Поскольку шарики маленькие, то будем считать заряды точечными. Как следует из закона Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом в точке пространства с радиус-вектором

Согласно (3), поле пропорционально заряду, т.е. больший заряд даёт больший вклад в результирующее (суммарное) поле. Это значит, что вклад последних (больших) зарядов арифметической прогрессии в общее поле будет наиболее значительным.

Для нахождения напряжённости электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов в центре многоугольника, по принципу суперпозиции полей необходимо просуммировать напряжённости полей от каждого из зарядов системы

где индекс суммирования меняется «по всем зарядам» арифметической прогрессии от единицы до .

В отличие от предыдущего пункта задачи сумма (4) уже не будет равна нулю (), поскольку теперь векторы будут иметь «различную длину» из-за возрастания зарядов в вершинах многоугольника.

Иными словами искомый вектор (Рис. 02) обязательно будет иметь и модуль , и некоторое направление в плоскости рисунка, которое можно задать, например, углом , образуемым данным вектором с «нижним» радиусом.

Как известно, при арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на одну и ту же величину, соответственно, разность между ними остаётся постоянной. Это соображение и положим в основу модернизированного «метода поворота» для вычисления .

Вынесем вектор на отдельную векторную диаграмму (Рис. 03). Мысленно повернём систему зарядов на угол по часовой стрелке вокруг точки — при этом вектор на диаграмме также повернётся на угол в том же направлении и перейдёт в положение , отмеченное пунктиром (см. Рис. 03).

Если же теперь поменять знаки всех зарядов (сделать их отрицательными), то вектор , согласно (3), также поменяет своё направление на противоположное (повернётся на угол и перейдёт в положение на векторной диаграмме (см. Рис. 03)). Понятно, что при таких преобразованиях модули векторов и останутся равными модулю искомого вектора

Далее наложим систему «повёрнутых и изменённых» зарядов на исходную систему зарядов. Тогда в центре многоугольника, согласно принципу суперпозиции полей, суммарная напряжённость электростатического поля (см. Рис. 03) будет равна сумме двух векторов

Однако, с другой стороны (Рис. 04), при такой процедуре во всех точках (за исключением первой!) по

правилам арифметической прогрессии останется только «по одному» заряду .

В первой же точке системы окажется суммарный заряд , который является «совокупностью» зарядов (старого) и , «пришедшего» в эту точку при повороте.

Таким образом, в полученной «наложенной» системе (см. Рис. 04) во всех вершинах многоугольника теперь находится по заряду (согласно пункту 1.1 поле такой системы равно нулю), и в первой точке «появился» заряд .

Следовательно, суммарное поле такой «наложенной» системы зарядов в центре многоугольника совпадает с полем отрицательного заряда , находящегося в первой точке цепочки, т.е.

С другой стороны из равнобедренного треугольника напряженностей (см. Рис. 03) получим

Из (7) и (8) получаем искомое значение

где есть напряженность поля, создаваемого в центре многоугольника первым (наименьшим) зарядом.

Для задания вектора помимо его модуля (9) необходимо определить также и его направление в плоскости рисунка. На практике для этого достаточно найти угол, образуемый данным вектором с какой либо осью или отрезком.

В нашем случае удобно найти угол , образованный искомым вектором с радиусом, проведенным из центра многоугольника к первому заряду (см. Рис. 03).

Из равнобедренного треугольника напряженностей, учитывая равенство углов при основании, найдем

Выражения (9) и (10) полностью задают искомый вектор , приложенный в точке (центре правильного -угольника, где ).

Интересно, что при «правильный многоугольник» представляет собой два заряда и , находящиеся на концах диаметра окружности (т.е. с точки зрения математики его «не существует», т.к. класс правильных многоугольников начинается с правильного треугольника ()). Но, несмотря на это, формулы (9) и (10) дают правильные физические результаты (, )!

1.3 Для вычислений с использованием (9) и (10) необходимо знать количество вершин правильного многоугольника.

Из Рис. 02 следует, что для того, чтобы вектор проходил (был «нацелен») через третью вершину многоугольника, угол должен удовлетворять условию

Следовательно, искомый правильный многоугольник является правильным десятиугольником (). В таком случае

Расчеты по найденным формулам (9) и (10) дают


По правилам приближенных вычислений в окончательных расчётах сохраняем по три значащие цифры, поскольку все данные условия приведены с тремя значащими цифрами (не путать с цифрами после запятой!).

1.1 Суть метода «мысленного поворота» фактически полностью «изложена» в его названии: рассмотрим поворот всей системы одинаковых зарядов «как целого» (Рис. 01) в любом направлении (например, по часовой стрелке) на угол (или кратный ему).

Поскольку электростатическое поле является центральным, то вектор напряженности точечного заряда всегда направлен вдоль прямой, проходящей через данный заряд.

Это значит, что искомый вектор напряженности системы тоже «жёстко связан» с рассматриваемой системой зарядов. Следовательно, при повороте системы зарядов он также повернётся в плоскости рисунка на угол .

Таким образом, при подобном «мысленном повороте» вектор напряженности поля поменяет свое направление, т.е. вектор изменится.

Но с другой стороны, в силу симметрии данной системы зарядов, при таком повороте каждый заряд «перейдет» в соседний, т.е. с точки зрения «стороннего наблюдателя» в системе ничего не изменится (!), поскольку все заряды одинаковые. Следовательно, вектор при таком повороте не изменится!

Мы пришли к логическому противоречию, следовательно, что-то предположили неверно. На самом деле данное противоречие возникло лишь потому, что обычно у вектора есть длина, и «по умолчанию» мы считали его ненулевым, т.е.

«Разрешить» полученное противоречие можно только предположив обратное, что

Иными словами, можно считать, что нулевой вектор направлен «куда угодно», поскольку его модуль равен нулю. Говоря более строго, с нулевым вектором не связывают никакого направления в пространстве, т.е. он сонаправлен (и перпендикулярен!) любому ненулевому вектору.

Таким образом, при одинаковых зарядах в вершинах произвольного правильного многоугольника напряженность электростатического поля в его центре равна нулю.

Заметим, что и другие методы (например, суммирование векторов по правилу многоугольника) приводят к такому же результату (2), но именно метод «мысленного поворота» содержит неявную подсказку нашим юным олимпийцам для выполнения следующего пункта задачи.

1.2 Поскольку шарики маленькие, то будем считать заряды точечными. Как следует из закона Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом в точке пространства с радиус-вектором

Согласно (3), поле пропорционально заряду, т.е. больший заряд даёт больший вклад в результирующее (суммарное) поле. Это значит, что вклад последних (больших) зарядов арифметической прогрессии в общее поле будет наиболее значительным.

Для нахождения напряжённости электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов в центре многоугольника, по принципу суперпозиции полей необходимо просуммировать напряжённости полей от каждого из зарядов системы

где индекс суммирования меняется «по всем зарядам» арифметической прогрессии от единицы до .

В отличие от предыдущего пункта задачи сумма (4) уже не будет равна нулю (), поскольку теперь векторы будут иметь «различную длину» из-за возрастания зарядов в вершинах многоугольника.

Иными словами искомый вектор (Рис. 02) обязательно будет иметь и модуль , и некоторое направление в плоскости рисунка, которое можно задать, например, углом , образуемым данным вектором с «нижним» радиусом.

Как известно, при арифметической прогрессии каждый следующий член больше предыдущего на одну и ту же величину, соответственно, разность между ними остаётся постоянной. Это соображение и положим в основу модернизированного «метода поворота» для вычисления .

Вынесем вектор на отдельную векторную диаграмму (Рис. 03). Мысленно повернём систему зарядов на угол по часовой стрелке вокруг точки — при этом вектор на диаграмме также повернётся на угол в том же направлении и перейдёт в положение , отмеченное пунктиром (см. Рис. 03).

Если же теперь поменять знаки всех зарядов (сделать их отрицательными), то вектор , согласно (3), также поменяет своё направление на противоположное (повернётся на угол и перейдёт в положение на векторной диаграмме (см. Рис. 03)). Понятно, что при таких преобразованиях модули векторов и останутся равными модулю искомого вектора

Далее наложим систему «повёрнутых и изменённых» зарядов на исходную систему зарядов. Тогда в центре многоугольника, согласно принципу суперпозиции полей, суммарная напряжённость электростатического поля (см. Рис. 03) будет равна сумме двух векторов

Однако, с другой стороны (Рис. 04), при такой процедуре во всех точках (за исключением первой!) по

правилам арифметической прогрессии останется только «по одному» заряду .

В первой же точке системы окажется суммарный заряд , который является «совокупностью» зарядов (старого) и , «пришедшего» в эту точку при повороте.

Таким образом, в полученной «наложенной» системе (см. Рис. 04) во всех вершинах многоугольника теперь находится по заряду (согласно пункту 1.1 поле такой системы равно нулю), и в первой точке «появился» заряд .

Следовательно, суммарное поле такой «наложенной» системы зарядов в центре многоугольника совпадает с полем отрицательного заряда , находящегося в первой точке цепочки, т.е.

С другой стороны из равнобедренного треугольника напряженностей (см. Рис. 03) получим

Из (7) и (8) получаем искомое значение

где есть напряженность поля, создаваемого в центре многоугольника первым (наименьшим) зарядом.

Для задания вектора помимо его модуля (9) необходимо определить также и его направление в плоскости рисунка. На практике для этого достаточно найти угол, образуемый данным вектором с какой либо осью или отрезком.

В нашем случае удобно найти угол , образованный искомым вектором с радиусом, проведенным из центра многоугольника к первому заряду (см. Рис. 03).

Из равнобедренного треугольника напряженностей, учитывая равенство углов при основании, найдем

Выражения (9) и (10) полностью задают искомый вектор , приложенный в точке (центре правильного -угольника, где ).

Интересно, что при «правильный многоугольник» представляет собой два заряда и , находящиеся на концах диаметра окружности (т.е. с точки зрения математики его «не существует», т.к. класс правильных многоугольников начинается с правильного треугольника ()). Но, несмотря на это, формулы (9) и (10) дают правильные физические результаты (, )!

1.3 Для вычислений с использованием (9) и (10) необходимо знать количество вершин правильного многоугольника.

Из Рис. 02 следует, что для того, чтобы вектор проходил (был «нацелен») через третью вершину многоугольника, угол должен удовлетворять условию

Следовательно, искомый правильный многоугольник является правильным десятиугольником (). В таком случае

Расчеты по найденным формулам (9) и (10) дают


По правилам приближенных вычислений в окончательных расчётах сохраняем по три значащие цифры, поскольку все данные условия приведены с тремя значащими цифрами (не путать с цифрами после запятой!).

2.1 Из-за малости заряженных шариков можно считать все заряды в вершинах многоугольника точечными.

Как следует из закона Кулона, первый заряд цепочки создает в центре многоугольника напряженность электростатического поля

причем вектор направлен вдоль радиуса описанной окружности от заряда к центру многоугольника (Рис. 05).

2.2 Как известно, при геометрической прогрессии каждый ее следующий член больше предыдущего члена в одно и то же число раз. Соответственно, если умножить все члены геометрической прогрессии на ее знаменатель , то ее первый член перейдет во второй , второй – в третий и т.д. При этом вся цепочка «сдвинется» на один шаг влево (Рис. 05).

Это соображение и положим в основу следующего модернизированного «метода поворота» для вычисления напряжённости электростатического поля, создаваемого данной системой электрических зарядов.

Умножим все заряды системы на 2 (т.е. на знаменатель геометрической прогрессии) и повернем систему на угол так, чтобы каждый заряд «перешел» в соседнюю позицию (Рис. 06).

Понятно, что после такого «искусственного» преобразования и поворота системы зарядов вектор ее новой напряженности поля также удвоился по модулю (стал ) и также повернулся на угол относительно своего начального положения, что удобно изобразить на векторной диаграмме (Рис. 07).

— здесь и далее: в фигурных скобках представлены (без размерности!) показания инженерного калькулятора (например, CASIO fx-991EX (CLASSWIZ)) при правильном расчёте.

С другой стороны, как следует из Рис. 06, «сторонний наблюдатель» отметит, что после такой операции все заряды (за исключением первого) не изменились и «остались на своих местах». Только в первой вершине правильного многоугольника «исчез» заряд , но «появился» новый заряд .

Но мы можем считать, что в первой вершине многоугольника одновременно находятся два заряда: первый заряд , а второй . Тогда можно сказать, что старая система зарядов «осталась» на месте, но в ее первой точке появился дополнительный заряд .

Этот заряд создает в центре многоугольника дополнительную напряженность электростатического поля

Как следует из (16) вектор этой дополнительной напряженности поля направлен вдоль радиуса к центру многоугольника (см. Рис. 07), т.е. так же, как и вектор .

Из векторного треугольника напряжённостей (Рис. 07) выразим итоговый вектор и запишем теорему косинусов для стороны треугольника с учетом (16)

Из (18) находим искомое значение

Для задания направления вектора найдем по теореме синусов угол треугольника, противолежащий стороне

С учетом (16) и (19) окончательно получаем

Выражения (19) и (21) полностью задают искомый вектор , приложенный в точке (центре правильного -угольника).

2.3 Для вычислений с использованием (19) и (21) необходимо знать количество вершин правильного многоугольника.

Согласно условию, для искомого многоугольника , т.е. треугольник напряженностей (см. Рис. 7) – прямоугольный. Следовательно, в этом случае

Из (22) получаем квадратное уравнение относительно , единственный корень которого

Из (23) находим число сторон правильного многоугольника

т.е. в данном случае получается правильный шестиугольник.

Расчеты по найденным формулам (9) и (10) дают

По правилам приближенных вычислений в окончательных расчётах сохраняем по три значащие цифры, поскольку все данные условия приведены с тремя значащими цифрами (не путать с цифрами после запятой!).

2.1 Из-за малости заряженных шариков можно считать все заряды в вершинах многоугольника точечными.

Как следует из закона Кулона, первый заряд цепочки создает в центре многоугольника напряженность электростатического поля

причем вектор направлен вдоль радиуса описанной окружности от заряда к центру многоугольника (Рис. 05).

2.2 Как известно, при геометрической прогрессии каждый ее следующий член больше предыдущего члена в одно и то же число раз. Соответственно, если умножить все члены геометрической прогрессии на ее знаменатель , то ее первый член перейдет во второй , второй – в третий и т.д. При этом вся цепочка «сдвинется» на один шаг влево (Рис. 05).

Это соображение и положим в основу следующего модернизированного «метода поворота» для вычисления напряжённости электростатического поля, создаваемого данной системой электрических зарядов.

Умножим все заряды системы на 2 (т.е. на знаменатель геометрической прогрессии) и повернем систему на угол так, чтобы каждый заряд «перешел» в соседнюю позицию (Рис. 06).

Понятно, что после такого «искусственного» преобразования и поворота системы зарядов вектор ее новой напряженности поля также удвоился по модулю (стал ) и также повернулся на угол относительно своего начального положения, что удобно изобразить на векторной диаграмме (Рис. 07).

— здесь и далее: в фигурных скобках представлены (без размерности!) показания инженерного калькулятора (например, CASIO fx-991EX (CLASSWIZ)) при правильном расчёте.

С другой стороны, как следует из Рис. 06, «сторонний наблюдатель» отметит, что после такой операции все заряды (за исключением первого) не изменились и «остались на своих местах». Только в первой вершине правильного многоугольника «исчез» заряд , но «появился» новый заряд .

Но мы можем считать, что в первой вершине многоугольника одновременно находятся два заряда: первый заряд , а второй . Тогда можно сказать, что старая система зарядов «осталась» на месте, но в ее первой точке появился дополнительный заряд .

Этот заряд создает в центре многоугольника дополнительную напряженность электростатического поля

Как следует из (16) вектор этой дополнительной напряженности поля направлен вдоль радиуса к центру многоугольника (см. Рис. 07), т.е. так же, как и вектор .

Из векторного треугольника напряжённостей (Рис. 07) выразим итоговый вектор и запишем теорему косинусов для стороны треугольника с учетом (16)

Из (18) находим искомое значение

Для задания направления вектора найдем по теореме синусов угол треугольника, противолежащий стороне

С учетом (16) и (19) окончательно получаем

Выражения (19) и (21) полностью задают искомый вектор , приложенный в точке (центре правильного -угольника).

2.3 Для вычислений с использованием (19) и (21) необходимо знать количество вершин правильного многоугольника.

Согласно условию, для искомого многоугольника , т.е. треугольник напряженностей (см. Рис. 7) – прямоугольный. Следовательно, в этом случае

Из (22) получаем квадратное уравнение относительно , единственный корень которого

Из (23) находим число сторон правильного многоугольника

т.е. в данном случае получается правильный шестиугольник.

Расчеты по найденным формулам (9) и (10) дают

По правилам приближенных вычислений в окончательных расчётах сохраняем по три значащие цифры, поскольку все данные условия приведены с тремя значащими цифрами (не путать с цифрами после запятой!).