Железнодорожный мост — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 9 класс № 3

Любые инженерные конструкции предварительно точно рассчитываются, а их поведение в критических ситуациях многократно моделируется на предмет надежности и соответствия требованиям безопасности.

Рассмотрим однопролётный железнодорожный мост (Рис. 1), по которому проходит длинный поезд (длиннее моста) с одинаковыми вагонами.

В опорах (устоях) и моста (см. Рис. 1) установлены датчики «избыточного» веса для отслеживания изменения силы давления моста на данную опору при прохождении поезда (т.е. они не учитывают собственный вес моста).

При расчетах будем считать, что масса единицы длины (линейная плотность) поезда есть величина постоянная. При таком подходе поезд можно считать однородной «движущейся цепочкой» (Рис. 2).

В рамках данного задания вам предстоит более подробно разобрать процесс прохождения поезда по мосту с инженерной точки зрения, определить изменения динамической нагрузки на каждую из опор при этом.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: ускорение свободного падения $м с$ ; трением и сопротивлением воздуха в данном задании пренебречь

2.1

2.1 Пусть в некоторый момент на мосту оказалась часть поезда длиной (Рис. 3). Поскольку поезд длинный, то имеет смысл разбить расчеты на очевидные этапы: поезд заезжает на мост (); поезд заполняет весь мост (); поезд съезжает с моста ().

Рассмотрим первый этап. Поскольку на мосту находится часть поезда длиной , то его масса

, (15)

где -- линейная плотность поезда (масса единицы его длины).

Соответственно, центр масс этого «куска» поезда находится на расстоянии от опоры моста и на расстоянии от опоры . Согласно (2) и (3) получим, что в этом случае искомые зависимости равны

, (16)

, (17)

где -- ускорение свободного падения.

2.2

2.2 Для получения приведенных сил реакций и воспользуемся подсказками, приведенными в условии задания

, (18)

, (19)

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1 \end{minipage}
	0	0,095	0,18	0,255	0,32	0,375	0,42	0,455	0,48	0,495	0,5
.	0	0,005	0,02	0,045	0,08	0,125	0,18	0,245	0,32	0,405	0,5

где .

Таблица 3.

Заполняем Таблицу 2. и по полученным точкам в интервале строим требуемые графики полученных зависимостей.

2.3 Из графика (Рис. 3) визуально заметно, что разность сил сначала увеличивается, а потом уменьшается. Следовательно «где то посередине» у нее существует максимум. Для его поиска воспользуемся (18) и (19)

. (20)

Поскольку (20) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, то ее максимальное значение будет достигаться в вершине, которая действительно находится посередине

. (21)

2.2

2.2 Для получения приведенных сил реакций и воспользуемся подсказками, приведенными в условии задания

, (18)

, (19)

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1 \end{minipage}
	0	0,095	0,18	0,255	0,32	0,375	0,42	0,455	0,48	0,495	0,5
.	0	0,005	0,02	0,045	0,08	0,125	0,18	0,245	0,32	0,405	0,5

где .

Таблица 3.

Заполняем Таблицу 2. и по полученным точкам в интервале строим требуемые графики полученных зависимостей.

. (20)

. (21)

2.2

2.2 Для получения приведенных сил реакций и воспользуемся подсказками, приведенными в условии задания

, (18)

, (19)

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1 \end{minipage}
	0	0,095	0,18	0,255	0,32	0,375	0,42	0,455	0,48	0,495	0,5
.	0	0,005	0,02	0,045	0,08	0,125	0,18	0,245	0,32	0,405	0,5

где .

Таблица 3.

Заполняем Таблицу 2. и по полученным точкам в интервале строим требуемые графики полученных зависимостей.

. (20)

. (21)

2.4

2.4 Что касается суммы графиков, то в любой момент времени она равна силе тяжести поезда, выехавшего на мост. Следовательно, она максимальна, когда , т.е. в указанном диапазоне это произойдет при

. (22)

Заметим (от школьников не требуется!), что полном заполнении моста движущимся поездом () динамические нагрузки на опоры симметричны и равны и не изменяются. При съезжании с моста () графики функций опять же в силу симметрии, «меняются местами» и «разворачиваются».