Часть 1.

Условие равновесия удобно записать, приравнивая модули моментов силы тяжести и силы упругости жгута , относительно шарнирного крепления

Здесь мы записываем условия равновесия для произвольной массы подвешенного груза

Часть 2.

Уравнение равновесия в данном случае будет иметь вид

Используя приведенную в условии тригонометрическую формулу, получим

Наконец, учтем, что , тогда окончательно получим уравнение равновесия

Это уравнение имеет корень, соответствующий условию

Второй корень находится из уравнения

При выводе использовано выражение для жесткости жгута

Для анализа устойчивости найденных точек равновесия можно рассмотреть зависимость потенциальной энергии системы от длины шнура.
Потенциальная энергия системы включает:

• потенциальную энергию растянутого жгута ;
• потенциальную энергию подвешенного груза (относительно верхней точки крепления ) .
  Из теоремы Пифагора для треугольников и следует
  
  Таким образом, выражение для полной потенциальной энергии приобретает вид
  
  График этой зависимости есть парабола, с вершиной в точке
  
  что соответствует второму корню (11) уравнения равновесия.
  При ветви этой параболы направлены вверх, поэтому положение равновесия (11) является устойчивым, при больших массах это положение становится неустойчивым, устойчивым становится решение .
  Максимальное значение массы можно найти, положив в формуле (11) :

Часть 3.

Запишем еще раз условие равновесия трубки:

После сокращения на косинус половинного угла (не забывая о потерянном при этом корне), получим уравнение для определения

Это уравнение можно решить графически (можно и аналитически), для этого необходимо построить график зависимости величины , для этого достаточно «перевернуть» график зависимости длины шнура от массы подвешенного груза, приведенный в условии задачи. Затем на этом графике следует провести семейство прямых и найти точку их пресечения. Такие построения показаны на рисунке.

При массах груза, подвешенного кронштейну, меньших имеется одно положение равновесия. Длина шнура в этом случае линейно изменяется от нуля до м. Пи массах больших также имеется одно положения равновесия. В этом интервале длина шнура линейно изменяется от м до м (когда масса груза достигает ).

В диапазоне масс от кг до кг есть три положения равновесия, центральное из которых является неустойчивым. Поэтому в этой области система обладает бистабильностью. Какое из возможных положений равновесия установится зависит от предыдущих состояний, следовательно, при увеличении нагрузки и последующем ее уменьшении будет наблюдаться петля гистерезиса (см. рис).