1.1 На частицу во вращающейся жидкости в радиальном направлении действуют сила вязкого трения (сила Стокса) и сила Архимеда . Эти силы сообщают частице центростремительное ускорение . Пренебрегая изменением модуля скорости частицы относительно жидкости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение

Из которого находим скорость радиального движения частицы

Данная задача также может быть решена в неинерциальной вращающейся системе отсчета, связанной с жидкостью.

1.2 Так как скорость частицы пропорциональна квадрату ее радиуса, то при уменьшении радиуса в два раза, скорость уменьшится в 4 раза.

1.3 Из формулы (2) следует, что скорость частицы пропорциональная расстоянию до оси вращения, поэтому движение такой частицы не является равномерным. Для оценки времени движения можно использовать среднее арифметическое скоростей движения частицы в начале и конце рассматриваемого интервала. Для упрощения численных расчетов зависимость скорости от расстояния запишем в виде

где - скорость частицы на расстоянии , причем в качестве этих величин используем численные значения, рассчитанные в п. 1.2.
Указанная оценка времени движения частицы дает

Дополнение.
Точный расчет времени движения также может быть проведен. Из уравнения (4), записанного в дифференциальной форме следует, что закон движения имеет экспоненциальный вид

Из точного закона движения находим время смещения частицы на расстояние :

2.1 Для определения скорости опускания частиц достаточно в формуле (2) заменить центростремительное ускорение ускорением свободного падения. Расчет скорости в этом случае приводит к следующему значению кг (⋅−6)2⋅(−)⋅3⋅−2⋅ 2,021210м,1194,099810,981см R(ρ−ρ)g3 0м V=== 9ηкг⋅м 9⋅,1005⋅с(6) м2⋅с2 −м =,955⋅106 с

2.2 Скорость движения в данном случае постоянна, поэтому время движения рассчитывается по формуле м t===,52⋅103с Vм,(7) ,955⋅10−6 с

что примерно равно полутора часам.

3.1 При постоянной температуре концентрация молекул газа пропорциональна давлению газа. Изменение давления с высотой связано с действием силы тяжести. В пределах слоя малой толщины можно считать давление (а также концентрацию и плотность) постоянным. Тогда для изменения давления при подъеме на высоту справедливо выражение (где плотность газа выражена из уравнения состояния):

Полагая , из этой формулы находим высоту

3.2. На каждом слое толщиной концентрация убывает на 1%, следовательно, с увеличением числа слоев концентрация убывает в геометрической прогрессии. Найдем, сколько слоев толщиной необходимо пройти, чтобы, уменьшение концентрации составило 50%. Для этого надо решить уравнение

Следовательно, высота, на которой концентрация убывает в два раза, равна

3.3 Так как к частицам применимы законы идеального газа, то применима и формула (11). Только в ней молярную массу молекул надо заменить «молярной» массой частиц , где - масса одной частицы. Кроме того, необходимо учесть действие силы Архимеда на частицу в воде, что приведет к появлению «эффективного» ускорения свободного падения . С учетом этих оговорок, из формулы (11) следует выражение для расчета постоянной Авогадро

Подстановка численных значений приводит к результату

Это значение немного превышает современное постоянной Авогадро, но это же было первое ее экспериментальное измерение!*