Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.
В некоторых книгах утверждается, что давление света подтверждает его квантовую природу. Однако, описать это явление можно точно и в рамках классической физики. Знаменитый исследователь давления света П.Н. Лебедев в своих экспериментах проверял теорию электромагнитную теорию Дж.К. Максвелла. В данной задаче вам предстоит рассчитать величину давления света, используя законы классической физики.
1.1 Запишите соотношение между амплитудами колебаний напряженности электрического
1.1 В условии задачи подсказано, что средние плотности энергии электрического и магнитного полей волны равны. Поэтому вычислим усредненные значения плотностей этих энергий. Мгновенное значение плотности энергии электрического поля описывается функцией
Усреднение по промежутку времени, значительно превышающему период световых колебаний, дает
При выводе учтено, что среднее значение квадрата косинуса равно
Аналогичные рассуждения дают аналогичный результат:
Из равенства этих величин следует очень простое и красиво соотношение между амплитудами полей
1.2 Выразите интенсивность света
Интенсивностью света называется усредненное по времени количество энергии, переносимой волной в единицу времени через площадку единичной площади
1.2 Рассмотрим небольшую прямоугольную площадку площади
Усредняя по времени, получим
Принимая во внимание полученные выражения для средних плотностей энергии электрического и магнитного полей, получим выражение для интенсивности волны:
2. Движение электронов в металле и их электрическое сопротивление.
2.1 Рассчитайте концентрацию свободных электронов
Считайте, что каждый атом меди отдает один электрон в облако свободных электронов.
Молярная масса меди
Медная пластинка толщиной
Представь, что каждый атом меди даёт по одному свободному электрону — тогда концентрация электронов равна концентрации атомов.
Воспользуйся связью между плотностью вещества, молярной массой и числом частиц: число атомов в объёме равно
- Запиши концентрацию атомов (и свободных электронов) как
с учётом единиц. - Переведи величины в СИ при необходимости (плотность в кг/м^3, молярную массу в кг/моль).
- Подставь численные данные (в СИ) в форму для
. - Выразите
из полученной записи.
2.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов в меди, которая рассчитывается элементарно:
2.2 Рассчитайте, какая доля свободных электронов создает индуцированный заряд на поверхности пластинки при заданной напряженности внешнего электрического поля.
Для описания электрического сопротивления металлов в классической физике предполагается, что на движущийся в металле электрон действует тормозящая сила, пропорциональная его скорости
2.2 Напряженность электрического поля внутри металла равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов. В данном случае индуцированные заряды локализуются на поверхности пластины, поэтому поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью создаваемого поля следующим соотношением
Подставляя численные значения параметров этой формулы (заметим, что
Очень маленькая доля!
2.3 Выразите коэффициент пропорциональности
Подумай о стационарном токе в металле: средняя электрическая сила на электрон уравновешивается тормозящей силой, и это даёт связь между макроскопическим сопротивлением и микроскопическим торможением.
Напиши уравнение баланса сил для усреднённого движения:
- Запиши
из уравнения равновесия . - Вырази
через и . - Сравни с
и получи выражение для через , , . - Выразите
из полученной системы.
2.3 При установившемся значении силы тока электроны движутся с постоянной скоростью (конечно, в среднем), в этом случае сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, уравновешивается силой сопротивления
Отсюда следует, что средняя скорость движения электронов равна
Тогда плотность тока равна
Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме, который традиционно записывается в виде
Сравнивая эти выражения, находим, что искомый и не совсем понятный коэффициент может быть рассчитан по вполне измеряемым параметрам
3. Давление света на поверхность металла.
3.1 Пренебрегая силой сопротивления, действующей на электрон, найдите зависимость скорости электрона от времени, при действии на него электромагнитной волны
Представь свободный электрон, начавший покоиться в гармоническом электрическом поле, которое меняется по времени. Нарисуй временной график поля и подумай, как меняется ускорение электрона во времени.
Запиши второе начало Ньютона для электрона, учитывая, что магнитной частью силы Лоренца можно пренебречь: получишь дифференциальное уравнение первого порядка для скорости с правой частью, пропорциональной гармонической функции времени.
- Запиши уравнение вида
с известной гармонической функцией . - Найди общее решение, представив
как комбинацию косинуса и синуса: . - Наложи начальное условие
и выпиши уравнения для констант и . - Интегрируй и вырази
из полученной системы констант.
3.1 Уравнение движение свободного электрона по второму закону Ньютона имеет вид
Из этого уравнения следует, что скорость электрона зависит от времени по закону
Вектор скорости лежит в той же плоскости, что и вектор напряженности электрического поля.
3.2 Рассчитайте среднее значение силы Лоренца, действующей на электрон в этом случае.
Далее следует учитывать действие силы сопротивления (4) на электрон.
3.2 Так как вектор скорости электрона и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны, сила Лоренца равна произведению модулей этих векторов, т.е.
Среднее по времени значение этой силы равно нулю, так как
Итак, в этом случае
3.3 Найдите зависимость скорости электрона от времени
Подсказка.
Представьте эту зависимость в виде
При наличии силы сопротивления уравнение движения становится линейным неоднородным ОДУ с гармоническим побудителем — решение будет комбинацией синуса и косинуса в фазе с полем.
Запиши уравнение
- Подставь ansatz
в дифференциальное уравнение и сгруппируй коэффициенты при и . - Получишь систему двух линейных уравнений для
и . - Реши эту систему формально для
и (не подставляя чисел), выразив их через . - Выразите
в виде найденной комбинации с и .
3.3 При наличии силы сопротивления уравнение движение электрона имеет вид
Используя подсказку, запишем
Ускорение электрона находим, вычисляя производную от этой функции
Подставим эти функции в уравнение (20)
Так как это выражение должно быть справедливым в любой момент времени, можно приравнять коэффициенты, стоящие «при синусах и косинусах», в результате чего получаем систему уравнений для определения коэффициентов функции (21)
Решение этой системы элементарно:
Подставляя эти выражение в функцию (21), получим искомую функцию
3.4 Найдите усредненное по времени значение силы Лоренца, действующей на электрон. Укажите направление этой силы.
3.4 Так как в выражении для скорости присутствует слагаемое изменяющееся по закону косинуса, среднее значение силы Лоренца, действующее на один электрон, оказывается отличным от нуля. Действительно,
Легко показать, что эта сила направлена по направлению распространения волны.
3.5 Найдите силу, действующую на всю пластинку со стороны падающей волны.
3.5 Так как в пластинке содержится
3.6 Рассчитайте коэффициент поглощения электромагнитной волны пластинкой
Коэффициентом поглощения называется отношение поглощенной энергии к энергии падающей волны.
3.6 Поглощение волны происходит только потому, что на электроны действует тормозящая сила (равносильно — потому, что есть электрическое сопротивление). Мощность поглощенной одним электроном энергии есть мощность силы сопротивления
Проводя усреднение по времени, получим
При выводе учтено, что
Мощность энергии, поглощенной всеми электронами равна
Мощность энергии падающей на пластинку равна
Следовательно, коэффициент поглощения волны равен
3.7 Получите формулу для давления света на пластинку, выразите это давление через интенсивность волны и коэффициент поглощения пластинки.
Давление — это сила, делённая на площадь; на пластинку действует как поглощённая часть волнового импульса, так и, при отсутствии отражения, соответствующее ей изменение энергии потока.
Свяжи давление с интенсивностью и коэффициентом поглощения: учитывая, что скорость переноса энергии равна
- Запиши силу на пластинку
из пункта 3.5 и раздели её на площадь чтобы получить давление . - Вырази полученное
через поглощённую мощность и скорость света (связь между потоком энергии и импульсом волны). - Пользуясь определением
, подставь и упростите выражение для . - Выразите давление света
через интенсивность и коэффициент поглощения .
3.7 Давление света равно отношению силы (28) к площади пластинки
Поэтому осталось выразить эту формулу через интенсивность падающей волны и коэффициент поглощения, что делается достаточно просто: просто переставим слагаемые в формуле (28)
Заметим, что в точности такое же выражение для давления света следует и из квантовой теории.
Примечания
- 9. Не путайте с плотностью! ↩
Похожие задачи
Интерференция
Уважаемые коллеги! Вам предлагается написать основные тезисы параграфа учебника
Взаимодействия цилиндрических магнитов
Описание магнитных полей и магнитных взаимодействий является математически более сложной задачей, чем описание электростатических взаимодействий. Во …
У Р Б П ≈4/5 Т3
Термоэлектрические явления
Современная теория строения металлов основывается на законах квантовой физики. Однако и более простые классические теории позволяют получать …
У Р Б П ≈4/5 Т1
Отражение
Задача состоит из трех, не связанным между собой частей.
Все графики приведены также на отдельном бланке, на котором вы должны выполнить построения. …
Электромагнитная сила Кориолиса
Небольшой стальной шарик массы
Задача 11-1
Задача 1. (20 баллов) Диамагнитные свойства кристалла определяются свойствами атомов, из которых образован данный кристалл.
В качестве модели …