1.1 В условии задачи подсказано, что средние плотности энергии электрического и магнитного полей волны равны. Поэтому вычислим усредненные значения плотностей этих энергий. Мгновенное значение плотности энергии электрического поля описывается функцией

Усреднение по промежутку времени, значительно превышающему период световых колебаний, дает

При выводе учтено, что среднее значение квадрата косинуса равно .
Аналогичные рассуждения дают аналогичный результат:

Из равенства этих величин следует очень простое и красиво соотношение между амплитудами полей

1.2 Рассмотрим небольшую прямоугольную площадку площади на которую нормально падает электромагнитная волна. На этой площадке, как на основании построим параллелепипед длиной . Вся энергия волны, заключенная в этом параллелепипеде за время успеет проскочить через выделенную площадку. Поэтому за время через площадку пройдет энергия равная

Усредняя по времени, получим . Тогда интенсивность волны (по определению) будет равна

Принимая во внимание полученные выражения для средних плотностей энергии электрического и магнитного полей, получим выражение для интенсивности волны:

2. Движение электронов в металле и их электрическое сопротивление.

2.1 Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов в меди, которая рассчитывается элементарно:

2.2 Напряженность электрического поля внутри металла равна нулю, так как внешнее поле компенсируется полем индуцированных зарядов. В данном случае индуцированные заряды локализуются на поверхности пластины, поэтому поверхностная плотность индуцированных зарядов связана с напряженностью создаваемого поля следующим соотношением

Здесь - напряженность внешнего поля и она же напряженность поля индуцированных зарядов. Если площадь части пластинки равна , то число электронов, находящихся на этой площадке равно ( - заряд электрона), в то время как общее число свободных электронов в пластинке . Таким образом, доля электронов, которые под действием внешнего поля переместились на поверхность, равна

Подставляя численные значения параметров этой формулы (заметим, что ), получим

Очень маленькая доля!

2.3 При установившемся значении силы тока электроны движутся с постоянной скоростью (конечно, в среднем), в этом случае сила, действующая на электрон со стороны электрического поля, уравновешивается силой сопротивления

Отсюда следует, что средняя скорость движения электронов равна

Тогда плотность тока равна

Эта формула выражает закон Ома в дифференциальной форме, который традиционно записывается в виде

Сравнивая эти выражения, находим, что искомый и не совсем понятный коэффициент может быть рассчитан по вполне измеряемым параметрам

3. Давление света на поверхность металла.

3.1 Уравнение движение свободного электрона по второму закону Ньютона имеет вид

- масса электрона, - его ускорение.

Из этого уравнения следует, что скорость электрона зависит от времени по закону

Вектор скорости лежит в той же плоскости, что и вектор напряженности электрического поля.

3.2 Так как вектор скорости электрона и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны, сила Лоренца равна произведению модулей этих векторов, т.е.

Среднее по времени значение этой силы равно нулю, так как

Итак, в этом случае

3.3 При наличии силы сопротивления уравнение движение электрона имеет вид

Используя подсказку, запишем

Ускорение электрона находим, вычисляя производную от этой функции

Подставим эти функции в уравнение (20)

Так как это выражение должно быть справедливым в любой момент времени, можно приравнять коэффициенты, стоящие «при синусах и косинусах», в результате чего получаем систему уравнений для определения коэффициентов функции (21)

Решение этой системы элементарно:

Подставляя эти выражение в функцию (21), получим искомую функцию

3.4 Так как в выражении для скорости присутствует слагаемое изменяющееся по закону косинуса, среднее значение силы Лоренца, действующее на один электрон, оказывается отличным от нуля. Действительно,


Легко показать, что эта сила направлена по направлению распространения волны.

3.5 Так как в пластинке содержится электронов, то суммарная средняя сила, действующая на пластинку оказывается равной

3.6 Поглощение волны происходит только потому, что на электроны действует тормозящая сила (равносильно — потому, что есть электрическое сопротивление). Мощность поглощенной одним электроном энергии есть мощность силы сопротивления

Проводя усреднение по времени, получим


При выводе учтено, что
Мощность энергии, поглощенной всеми электронами равна

Мощность энергии падающей на пластинку равна

Следовательно, коэффициент поглощения волны равен

3.7 Давление света равно отношению силы (28) к площади пластинки

Поэтому осталось выразить эту формулу через интенсивность падающей волны и коэффициент поглощения, что делается достаточно просто: просто переставим слагаемые в формуле (28)

Заметим, что в точности такое же выражение для давления света следует и из квантовой теории.