Нарисуй силы, действующие на каждый поршень: от атмосферы, от внутреннего воздуха, тяжесть и сила стержня. Обрати внимание на направления этих сил.

Запиши уравнения равновесия для верхнего и нижнего поршней (проекции на вертикаль). В уравнениях появятся величины и сила в стержне вместе с известными сечениями и массами.

1. Нарисуй свободные тела для обоих поршней и подпиши силы.
2. Запиши проекции уравнений равновесия: для верхнего и для нижнего поршня (в виде двух линейных уравнений).
3. Исключи из системы неизвестную , чтобы получить выражение для в виде алгебраического соотношения между известными величинами.
4. Выразите из полученной системы.

Подумай, какого знака будет сила в стержне по направлению: тянет ли верхний поршень вниз или толкает вверх нижний.

Используй те же уравнения равновесия для поршней; модуль силы стержня является неизвестной в этой системе. Можно предположить знак (сжат/растянут) и проверить по полученному .

1. Возьми уравнения равновесия, записанные в задаче 1.1.
2. Реши систему относительно (не подставляй чисел), выразив через массы, площади и .
3. Проверь знак полученного : положительное значение соответствует сжатию в принятом направлении, отрицательное — растяжению.
4. Выразите из полученной системы.

Выдели систему «два поршня + стержень + воздух между ними» и перечисли силы, которые действуют на эту систему со стороны внешней среды.

Подумай о сумме внешних сил и запиши условие равновесия для всей системы (сумма внешних сил = 0). Учитывай атмосферное давление на торцы и силу тяжести поршней.

1. Перечисли внешние силы: силы атмосферного давления на торцы, сила тяжести двух поршней; внутренние силы (давление воздуха на торцы, сила стержня, силы боковых стенок) входят в систему и должны сократиться.
2. Запиши векторное равенство суммарных внешних сил = 0 в вертикальной проекции.
3. Покажи, что подставив найденные в 1.1 выражения для и это равенство выполняется.
4. Выразите проверку равновесия подстановкой найденных величин в уравнение суммарных внешних сил.

Подумай, что произойдёт с положением верхнего поршня при добавлении груза: какое условие гарантирует, что он не опустится ниже стыка труб?

Используй зависимость между изменением давления и изменением прилагаемой массы, полученную ранее: изменение связано с изменением суммарной массы поршней по соотношению из уравнений равновесия (аналогично пункту 1.1).

1. Определи, при каком значении давления верхний поршень будет на уровне стыка (используя закон Бойля–Мариотта для объёмов до и после опускания до стыка).
2. Свяжи изменение давления с добавленной массой через соотношение, получаемое из уравнений равновесия: .
3. Приравняй найденное требуемое изменение давления к выражению через и реши относительно .
4. Выразите максимальную добавляемую массу из полученной системы.

Аналогично предыдущему пункту: подумай, как подвешивание груза к нижнему поршню изменит равновесное давление и положение верхнего поршня.

Опирайся на ту же связь между изменением давления и изменением суммарной массы поршней; симметрия формулы из пункта 1.1 означает, что критическое изменение массы для опускания верхнего поршня можно найти тем же способом.

1. Определи требуемое изменение давления, при котором верхний поршень опустится до стыка (как в 1.5).
2. Запиши соотношение между изменением давления и изменением суммарной массы, вызванным подвешенным грузом: .
3. Реши это уравнение относительно массы груза .
4. Выразите максимальную массу, которую можно подвесить к нижнему поршню, из полученной системы.

Теперь между поршнями — вода: объём жидкости фиксирован, так что поршни не могут менять суммарный объём. Учитывай изменение гидростатического давления с глубиной.

Запиши уравнения равновесия для верхнего и нижнего поршней: на них действуют атмосферное давление, давление воды на соответствующем уровне (связанные гидростатикой) и сила стержня .

1. Нарисуй силы на верхнем и нижнем поршнях и подпиши давления и .
2. Запиши проекции уравнений равновесия для обоих поршней (две линейные алгебраические уравнения с неизвестными и ).
3. Реши систему относительно , выразив его через .
4. Выразите из полученной системы.

Выдели систему «два поршня + стержень + вода между ними» и перечисли внешние силы: атмосферное давление, сила тяжести, сила от стенок/стыка.

Запиши условие равновесия для всей системы: суммарная внешняя сила в вертикальном направлении должна равняться нулю; учти гидростатическую силу со стороны торца стыка, эквивалентную давлению на разницу площадей.

1. Перечисли внешние силы: атмосферное давление на верхнюю и нижнюю крышки, вес поршней и веса воды (если учитывается), и силу со стороны торца стыка, возникающую из внутреннего давления.
2. Запиши суммарное вертикальное равновесие внешних сил и покажи, что подстановка найденных и из 2.1 удовлетворяет этому равенству.
3. Укажи, какие внутренние силы сокращаются при выделении системы (включая силы от боковых стенок).
4. Выразите проверку равновесия подстановкой найденных величин в уравнение суммарных внешних сил.

Представь ситуацию без атмосферного давления: какие силы будут удерживать систему в равновесии — достаточно ли давления воды и весов поршней?

Подумай через уравнения из пункта 2.1: при реши систему равновесия и проверь, можно ли получить допустимые (положительные) значения давления под верхним поршнем и силы .

1. Выпиши уравнения равновесия из 2.1 при .
2. Реши систему и посмотри, дают ли полученные и физически осмысленные значения (например, ).
3. Сделай вывод о возможности равновесия при отсутствии атмосферы, опираясь на знак и величину и .
4. Выразите условие (в виде вывода из системы), можно ли иметь равновесие при .

Подумай, при каком добавлении массы сверху нарушится равновесие: верхний поршень начнёт опускаться, если давление и силы перестанут уравновешиваться.

Используй уравнения равновесия из 2.1, добавив неизвестную массу к верхнему поршню (в массах в уравнениях появится ), и потребуй, чтобы верхний поршень оставался в исходном положении ; объём воды фиксирован.

1. Запиши уравнения равновесия для поршней с добавленной массой в верхнем уравнении.
2. Реши систему относительно максимального , при котором сохраняется равновесие (учти, что при дальнейшем увеличении положение нарушится).
3. Запиши полученное неявное выражение для через без численных подстановок.
4. Выразите максимальную массу из полученной системы.